KMP&拓展KMP

KMP算法

说明#

KMP算法是一种比较高效的字符串匹配算法，可以在线性时间内求出一个串在另一个串的所有匹配位置。

解析#

详解KMP

设模板串是 $pattern$ 令 $next[i] = max\{k|pattern[0...k-1]=pattern[i-k+1...i]\}$, $next[]$ 可以通过动态规划求解。

板子#

$next$数组存在的意义：

当 $A$ 串匹配到 $i$， $B$ 串匹配到 $j$时， 如果发现失配，可以直接令 $j = next[i]$ 然后继续匹配， ( $next[i]$ 将记录如果 $B$ 串匹配到 $A$ 的 $i$ 位置，前面有多少是已经匹配了的。）

$next$ 数组的求法

算法流程：

1. 初始化 $next[1] = j = 0$ ，假设 $next[1...i-1]$ 已经求出，下面求解 $next[i]$
2. 不断尝试扩展长度 $j$， 如果扩展失败（下一个字符不相等），令 $j$ 变为 $next[j]$， 直至 $j = 0$（应该从头开始匹配）
3. 如果扩展成功，匹配长度 $j$ 就增加 $1$, $next[i]$ 的值就是 $j$。

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inline void calc_next() {
	next[1] = 0;
	for (int i = 2, j = 0; i <= n; ++ i) {
		while (j > 0 && a[i] != a[j + 1]) j = next[j];
		if (a[i] == a[j + 1]) j ++;
		next[i] = j;
	}
}

我们用$f$数组记录每个位置能匹配的个数，基于 $next$ 数组，我们能在 $O(n + m)$ 的时间处理结果

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inline void calc_f() {
	for (int i = 1, j = 0; i <= m; ++ i) {
		while (j > 0 && (j == n || b[i] != a[j + 1])) j = next[j];
		if (b[i] == a[j + 1]) j ++;
		f[i] = j;
		if (f[i] == n) {/* the first time */}
	}
}

拓展KMP算法

说明#

在线性复杂度内求出一个串对于另一个串的每个后缀的最长公共前缀

解析#

假设两个串是 $s$ 和 $p$, 要求 $p$ 的每个 $s$ 的后缀的最长公共前缀.

我们可以先求出 $p$ 与它自己的每个后缀的最长公共前缀（假设为 $A$）。类似KMP的思想，假设我们现在要计算 $p$ 的第 $i$ 个字符开头的后缀，而我们已经得到了 $A[1...i-1]$, 我们可以找到以前的一个 $k$ 使得 $k + A[k] - 1$ 最大(就是匹配到的范围最大），我们可以得知 $p[1...A[k]] = p[k...k+A[k]-1]$， 于是可以得到 $p[i...k+A[k]-1] = p[i-k+1...A[k]]$，即我们可以利用 $A[i - j + 1]$ 的信息。

分两种情况讨论，如果 $i+A[i-k+1]-1$比$k+A[k]-1$小，则 $A[k] = A[i - k + 1]$ ，否则暴力扫一次。计算 $p$ 与 $s$ 的后缀的最长公共前缀也是类似的方法，可以证明复杂度是线性的。

板子#

(未精简版本）

输入：求 $a$ 关于 $b$ 的后缀的最长公共前缀， $Next$ 记录 $a$关于自己每个后缀的最长公共前缀， $ret$ 记录 $a$ 关于 $b$ 的后缀的最长公共前缀

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void ExtendedKMP(char *a, char *b, int M, int N, int *Next, int *ret) {
	int i, j, k;
	for (j = 0; 1 + j < M && a[j] == a[1 + j]; ++ j);
	Next[1] = j;
	k = 1;
	for (i = 2; i < M; ++ i) {
		int Len = k + Next[k], L = Next[i - k];
		if (L < Len - i) {
			Next[i] = L;
		} else {
			for (j = max(0, Len - i); i + j < M && a[j] == a[i + j]; ++ j);
			Next[i] = j;
			k = i;
		}
	}
	for (j = 0; j < N && j < M && a[j] == b[j]; ++ j);
	ret[0] = j;
	k = 0;
	for (i = 1; i < N; ++ i) {
		int Len = k + ret[k], L = Next[i - k];
		if (L < Len - i) {
			ret[i] = L;
		} else {
			for (j = max(0, Len - i); j < M && i + j < N && a[j] == b[i + j]; ++ j);
			ret[i] = j;
			k = i;
		}
	}
}