二分

定义：二分的基础用法是在单调序列或者单调函数中进行查找。
根据复杂度理论，我们可以通过将求解改为判定的方法，优化算法。这是一种非常基础，又比较容易写错的算法。本文将阐述一种常见的二分方法。

整数集合上的二分

保证最终答案处于闭区间 $ [l,r] $ 以内，循环以 $ l == r $ 结束，每次二分的中间值会归属于左半段或者右半段。

应用：
单调递增序列求 $ x $ 或 $ x $ 的后继：

	while (l < r) {
		mid = (l + r) / 2;
		if (a[mid] >= x) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}

单调递增序列求 $ x $ 或 $ x $ 的前驱：

	while (l < r) {
		mid = (l + r + 1) / 2;
		if (a[mid] <= x) l = mid;
		else r = mid - 1;
	}

注意：可行解一定要在选取的区间之内，一定不能造成没有缩小可行区域的情况

如上面两种代码所示，这种闭区间的二分有两种形式：

1. 缩小范围时，$ r = mid $, \(l = mid + 1\)，取中间值时，\(mid = (l + r) / 2\)
2. 缩小范围时，$ l = mid $, \(r = mid - 1\)，取中间值时，\(mid = (l + r + 1) / 2\)

思考一下，如果第二种情况仍然使用 \(mid = (l + r) / 2\)， 如果 \(r - l == 1\) 那么 \(mid\) 的值就会和 \(l\) 一样，会造成没有缩小可行区域的情况，进入死循环
仔细分析这两种 \(mid\) 的取值，我们还发现：\(mid = (l + r) / 2\) 不会取到 \(r\) 这个值，\(mid = (l + r + 1) / 2\) 不会取到 \(l\) 这个值。我们可以利用这一性质来处理无解的情况，即：把最初的二分区间 \([1,n]\) 变成 \([0,n]\) 或者 \([1, n+1]\)，如果最终结果在这两个不存在的值上，那就是没有答案。
因此，使用配套的 \(mid\) 取法时必须的。

至此，整数域的二分已经讲完，采用" \(l = mid + 1, r = mid - 1\) " 或 “ \(l = mid, r = mid\) "的代码形势也很常见，但是在这里不做过多的阐述

实数域上的二分

实数域上的二分比较简单,设置精度，然后直接二分就可以。

while (l + eps < r) {
    double mid = (l + r) / 2;
    if (calc(mid)) r = mid; else l = mid;
}