快速幂、快速乘

快速幂等算法都是基于二进制优化的算法，本文不做过多叙述，在此只是留下模板，并介绍$O(1)$快速乘

快速幂

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int qpow(int a, int b, int p) {
	int res = 1 % p;
	for (; b; b >>= 1, a = (long long) a * a % p) if (b & 1)
		res = (long long) res * a % p;
	return res;
}

快速乘

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#define qword long long
qword qmul(qword a, qword b, qword p) {
	qword res = 0;
	for (; b; b >>= 1, a = (a + a) % p) if (b & 1)
		res = (res + a) % p;
	return res;
}

$O(1)$ 快速乘

利用 $a * b \pmod p = a * b - [a * b / p] * p$
首先 $a,b < p$ 时， $a * b / p$ 一定小于 $p$ ，我们可以用浮点数进行 $a * b / p$ 的运算，而不用关心小数点后面的部分。浮点类型long double在十进制下可以储存 $18~19$ 位。
当浮点数的精度不足以保证位数时，它会以科学记数法舍弃低位，这并不会影响我们需要的整数部分的运算
另外，虽然 $a * b$ 和 $a * b / p$ 可能很大，但是二者的差一定在 $0 ~ p-1$ 之间，我们只关心它们的较低位数就可以，所以，我们用long long储存 $a * b$ 和 $[a * b / p] * p$ 各自的结果，整数溢出相当于舍弃最高位，也正好符合我们的要求

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#define qword long long
qword mul(qword a, qword b, qword p) {
	a %= p, b %= p;
	qword c = (long double) a * b / p;
	qword ans = a * b - c * p;
	if (ans < 0) ans += p;
	else if (ans >= p) ans -= p;
	return ans;
}