左偏树

基本概念

左偏树是一种易实现的可合并堆，它是二叉树的变种，除了维护堆的性质以外，对于每一个节点，都将维护一个\(s\)值（表示这个点距离最近叶子节点的距离（这里的叶子节点包含只含有一个儿子的节点）。左偏树需要保证每个节点的右儿子节点的\(s\)值小于等于做儿子节点的\(s\)值。相较于二叉堆，左偏树的结构往往是很不平衡的。

性质

1. 左偏树根节点的\(s\)值不超过\(log(|V|)\)
2. 左偏树是可并的
3. 如果规定空节点的\(s\)值为\(-1\)，那么每个点的\(s\)值等于其右儿子的\(s\)值\(+1\)

算法

合并操作

采用递归的方式合并两个左偏树

1. 如果有一棵树为空，返回另一颗树
2. 将根节点键值较小的树与较大树的右儿子合并
3. 如果合并后违反了左偏性质，交换两个儿子，更新当前节点的\(s\)值

插入

视为一颗只有一个元素的左偏树合并

删除根操作

删除根，合并左右两颗子树

复杂度

因为不断和右子树进行合并，根的\(s\)值不超过\(log(|V|)\)，所以复杂度是\(log(|V|)\)

代码实现

接口

int Init(int x)
输入： x 单点左偏树的权值
输出：新建的左偏树的编号
int Insert(int x, int y)
复杂度：\(log(n)\)
输入： x, y 向编号为x的左偏树中插入一个权值为y的节点
输出：新的堆顶的编号
int Top(int x)
复杂度： \(1\)
输入： x 左偏树的编号
输出： 编号为x的左偏树的堆顶的权值
int Pop(int x)
复杂度： \(log(n)\)
输入： x 左偏树的编号
输出： 删除编号为x的左偏树的堆顶，返回新的堆顶编号
int Merge(int x, int y)
复杂度： \(log(n)\)
输入： x, y 两颗要合并的左偏树的编号
输出： 新的堆顶编号

代码

int tot, v[maxn], l[maxn], r[maxn], d[maxn];


int Merge(int x, int y) { // return new lefttree
    if (!x) return (y);
    if (!y) return (x);
    if (v[x] < v[y]) swap(x, y);
    r[x] = Merge(r[x], y);
    if (d[l[x]] < d[r[x]]) swap(l[x], r[x]);
    d[x] = d[r[x]] + 1;
    return (x);
}

int Init(int x) {
    tot ++;
    v[tot] = x;
    l[tot] = t[tot] = d[tot] = 0;
}

int Insert(int x, int y) {
    return (Merge(x, Init(y)));
}

int Top(int x) {
    return (v[x]);
}

int Pop(int x) {
    return (Merge(l[x], r[x]));
}

2005年论文-《左偏树的特点及其应用》