数学基础-组合学

排列和组合

基本概念:#

1. 加法原理: 设集合$S$划分为部分$S_1, S_2, \cdots, S_m$则$S$的元素个数可以用过找出它的每一部分的元素的个数来确定, 把这些数相加, 得到:

$$|S| = |S_1| + |S_2| + \cdots + |S_m|$$

2. 乘法原理: 令$S$是元素的序偶$(a,b)$的集合,其中第一个元素$a$来自大小为$p$的一个集合,而对于$a$的每个选择,元素$b$存在着$q$中选择, 于是:

$$|S| = p \times q$$

3. $n$个元素中$r$个元素的有序摆放称为$n$个元素的$r$-排列, $n$个元素集合的$r$-排列数目用$P(n,r)$来表示.
4. $n$个元素中对$r$个元素的无序选择称为$n$个元素的集合$S$的一个$r$-组合.$n$个元素集合的$r$-组合的数目用$\binom{n}{r}$表示
5. 如果$S$是一个多重集, 那么$S$的一个$r$-排列是$S$的$r$个元素的一个有序排放.如果$S$的元素总个数是$n$, 那么$S$的$n-$排列也将成为$S$的排列.

性质#

1. 对于正整数$n$和$r$, $r\le n$, 有 $$P(n,r) = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$$
2. $n$个元素的集合的循环$r$-排列的个数由 $$\frac{P(n,r)}{r}= \frac{n!}{r(n-r)!}$$
   给出,特别的,$n$个元素的循环排列的个数是$(n-1)!$.
3. 对于$0 \le r \le n$ $$P(n,r) = r! \binom{n}{r}$$
4. 令$S$是一个多重集, 它有$k$个不同类型的元素,每一个元素都有无穷重复个数.那么$S$的$r$-排列的个数为$k^r$
5. 令$S$是一个多重集,有$k$个不同类型的元素,各元素的重数分别为$n_1,n_2,\cdots,n_k$.设$S$的大小为$n = n_1 + n_2 + \cdots + n_k$.则 $S$的排列数等于 $$\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$$

抽屉原理

基本概念#

1. 简单形式: 如果$n+1$个物体倍放进$n$个盒子, 那么只收有一个盒子包含两个或更多的物体.
2. 加强形式: 令$q_1,q_2,\cdots,q_n$为正整数,如果将 $$q_1,q_2,\cdots,q_n-n+1$$ 个物体放入$n$个盒子内,那么,或者第一个盒子至少有$q_1$个物体,或者第二个盒子至少含有$q_2$个物体,或者第$n$个盒子至少含有$q_n$个物体.

性质#

1. 如果将#n#个物体放入$n$个盒子并且没有一个盒子是空的, 那么每个盒子恰好包含一个物体,
2. 如果将$n$个物体翻入$n$个盒子并且没有盒子被放入多余一个的物体,那么每个盒子里有一个物体.
3. 如果$n$个非负整数$m_1,m_2, \cdots,m_n$的平均数大于$r-1$:

$$\frac{m_1 +m_2+\cdots +m_n}{n}>r-1$$

那么至少有一个整数大于或等于$r$

特殊计数序列

Catalan序列#

$$C_n=\sum_{i=0}^{n-1}C_iC_{n-1-i}=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$$

1. $n$个$+1$和$n$个$-1$构成的$2n$项 $$a_1,a_2,\cdots,a_2n$$
   其部分满足非负性质,即 $$a_1+a_2+\cdots+a_k\ge 0$$ 此数列的个数等于第$n$个Catealan数
2. $n$对括号构成的合法的括号序列的个数等于第$n$个Catalan数
3. 通过不交于内部的对角线把凸$n+2$边拆分成若干个三角形,不同的拆分数等于第$n$个Catalan数.

Stirling序列#

...(这个完全可以自己推)