数学基础-组合学
排列和组合
基本概念:
- 加法原理: 设集合\(S\)划分为部分\(S_1, S_2, \cdots, S_m\)则\(S\)的元素个数可以用过找出它的每一部分的元素的个数来确定, 把这些数相加, 得到:
\[|S| = |S_1| + |S_2| + \cdots + |S_m|
\]
- 乘法原理: 令\(S\)是元素的序偶\((a,b)\)的集合,其中第一个元素\(a\)来自大小为\(p\)的一个集合,而对于\(a\)的每个选择,元素\(b\)存在着\(q\)中选择, 于是:
\[|S| = p \times q
\]
- \(n\)个元素中\(r\)个元素的有序摆放称为\(n\)个元素的\(r\)-排列, \(n\)个元素集合的\(r\)-排列数目用\(P(n,r)\)来表示.
- \(n\)个元素中对\(r\)个元素的无序选择称为\(n\)个元素的集合\(S\)的一个\(r\)-组合.\(n\)个元素集合的\(r\)-组合的数目用\(\binom{n}{r}\)表示
- 如果\(S\)是一个多重集, 那么\(S\)的一个\(r\)-排列是\(S\)的\(r\)个元素的一个有序排放.如果\(S\)的元素总个数是\(n\), 那么\(S\)的\(n-\)排列也将成为\(S\)的排列.
性质
- 对于正整数\(n\)和\(r\), \(r\le n\), 有$$P(n,r) = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$$
- \(n\)个元素的集合的循环\(r\)-排列的个数由$$\frac{P(n,r)}{r}= \frac{n!}{r(n-r)!}$$
给出,特别的,\(n\)个元素的循环排列的个数是\((n-1)!\). - 对于\(0 \le r \le n\) $$P(n,r) = r! \binom{n}{r}$$
- 令\(S\)是一个多重集, 它有\(k\)个不同类型的元素,每一个元素都有无穷重复个数.那么\(S\)的\(r\)-排列的个数为\(k^r\)
- 令\(S\)是一个多重集,有\(k\)个不同类型的元素,各元素的重数分别为\(n_1,n_2,\cdots,n_k\).设\(S\)的大小为\(n = n_1 + n_2 + \cdots + n_k\).则 \(S\)的排列数等于$$\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$$
抽屉原理
基本概念
- 简单形式: 如果\(n+1\)个物体倍放进\(n\)个盒子, 那么只收有一个盒子包含两个或更多的物体.
- 加强形式: 令\(q_1,q_2,\cdots,q_n\)为正整数,如果将$$q_1,q_2,\cdots,q_n-n+1$$个物体放入\(n\)个盒子内,那么,或者第一个盒子至少有\(q_1\)个物体,或者第二个盒子至少含有\(q_2\)个物体,或者第\(n\)个盒子至少含有\(q_n\)个物体.
性质
- 如果将#n#个物体放入\(n\)个盒子并且没有一个盒子是空的, 那么每个盒子恰好包含一个物体,
- 如果将\(n\)个物体翻入\(n\)个盒子并且没有盒子被放入多余一个的物体,那么每个盒子里有一个物体.
- 如果\(n\)个非负整数\(m_1,m_2, \cdots,m_n\)的平均数大于\(r-1\):
\[\frac{m_1 +m_2+\cdots +m_n}{n}>r-1
\]
那么至少有一个整数大于或等于\(r\)
特殊计数序列
Catalan序列
\[C_n=\sum_{i=0}^{n-1}C_iC_{n-1-i}=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}
\]
- \(n\)个\(+1\)和\(n\)个\(-1\)构成的\(2n\)项$$a_1,a_2,\cdots,a_2n$$
其部分满足非负性质,即$$a_1+a_2+\cdots+a_k\ge 0$$此数列的个数等于第\(n\)个Catealan数 - \(n\)对括号构成的合法的括号序列的个数等于第\(n\)个Catalan数
- 通过不交于内部的对角线把凸\(n+2\)边拆分成若干个三角形,不同的拆分数等于第\(n\)个Catalan数.
Stirling序列
...(这个完全可以自己推)
