NOI导刊2009 提高一

zzh大佬给我说导刊的题全是普及难度，然而我。。觉得有两道题是提高的

LocalMaxima

题目解析#

对于$i$这个数，它要想成为LocalMaxima，比它大的要全部放到最后去，比它小的想怎么放就怎么放。所以说，这个数能成为LocalMaxima的期望就是 $$(n - i)! / (n - i + 1)! = \frac{1}{n - i + 1}$$ , 那么总的期望就是 $$\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{n - i + 1} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i}$$ , 于是我们就有了线性的做法，但是这显然是不合乎要求的。

我们知道， $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$这样的一个调和级数是发散的，不存在极限，但是欧拉曾经证明$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} - ln(n)$是收敛的。它的极限是存在的。设这个极限是$r$，$r$被称作欧拉常数。它的近似值约$0.57721566490$,于是我们有了一个求解$s$的算法，那就是$s = ln(n +1) +r$

$$r = \lim_{n \rightarrow \infty} ^ {} \left ( \left ( \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \right ) - ln(n) \right ) = \int_1^{\infty} \left ( \frac{1}{[x]} - \frac{1}{x} \right ) dx$$

最长括号匹配

题目解析#

首先我们考虑一下如何判断一个串是不是合法串。

我们只需要抽离一个经典的栈的模型，用左括号压栈，右括号弹栈，只有一个合法的压栈，弹栈序列才是合法的括号串。因为这里有两种括号，因此我们还需要增加一个匹配的条件。

假设我们用$str[0...L-1]$储存括号序列，$stack$模拟栈，$stack[i]$记录第$i$层栈储存的元素在$str$中的下表，top标记栈顶。

几个比较显然的性质：假设在$[L,R]$中出现了非法弹栈，那么对于任意区间$L \le a \le R$，则区间$[a,b]$必然是非法的，因为弹栈和压栈操作相互独立。
于是不难得出下面的模拟算法：

对于括号$str[i]$对应的操作，如果是压栈，则压栈，若果是合法弹栈，就弹栈，并且更新答案。如果是非法弹栈，就立刻清空栈。最终输出答案。

Magicfingerprint

题目分析#

我们有个很显然的打表算法，由于可以估算出这个序列应该比较分散，所以对于$30pts$，100kb之内是没有问题的。

我们有一个很显然的反向dfs方法，不停添加位数，然后sort一下， $On$查询一下就行了