题解 【UER #6】逃跑

Description

妹滋滋从 \((0,0)\) 开始，每天可以往上下左右四个方向中的一个方向移动一个单位的距离。每天随机选择一个方向走，上下左右方向的权值分别是 \(w_1,w_2,w_3,w_4\) 走每个方向的概率和他的权值成正比。询问 \(n\) 天后经过不同位置个数的方差 \(V\times(w_1+w_2+w_3+w_4)^n\) 对 \(998244353\) 取模后的值。

Solution

首先，对于离散随机变量 \(X_1,X_2\dots X_n\) ，设 \(X\) 的方差为 \(D(X)\)，则有

\[D(X)=\frac 1 n\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2\\=\frac 1 n\sum_{i=1}^n(X_i^2-2X_i\bar X+\bar X^2)\\=\frac 1 n\sum_{i=1}^nX_i^2-\frac {2\bar X} n \sum_{i=1}^nX_i+\bar X^2\\=\frac 1 n\sum_{i=1}^nX_i^2-2\frac 1 {n^2}(\sum_{i=1}^nX_i)^2+\bar X^2 \\=E(X^2)-E^2(X) \]

那么方差就等于平方的期望减期望的平方，那么我们现在就要求这两项。

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对一次和的求解

首先考虑每个点对答案的贡献，必定是在第一次经过时产生贡献。

设 \(f[i]\) 表示第一次经过 \(i\) 步后到达格子的方案数，注意我们不关心这个格子是哪一个。

由于外层乘了总方案，设 \(sum=w_1+w_2+w_3+w_4\)，那么走 \(i\) 步后的总方案就是 \(sum^i\)。

考虑容斥，所有不合法的方案都是在 \([0,i-1]\) 中走到了 \(i\) 步的位置，并且用剩下的时间再走了回来。

设在第 \(j\) 步走到 \(i\)，那么就用 \(j-i\) 步走回来，方案数可以预处理，设为 \(C_{j-i}\)。

那么就有 \(f[i]=sum^i-\sum_{j=0}^{i-1}f[j]C_{j-i}\)，总和为 \(\sum_{i=0}^nf[i]\times sum^{n-i}\)。

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对二次和的求解

对于一种方案展开：\(E((s_i+s_j+\dots)^2)=E^2(s_i)+E^2(s_j)+2E(s_is_j)\dots\)，其中 \(s_i\) 表示第 \(i\) 步到达的格子是否是首次到达的。

那么可以 \(dp\)，设 \(g[k][x][y]\) 表示走了 \(k\) 步，其中纵方向比走了 \(i\) 步时多走的状况是 \(x\)，横方向多走的状况是 \(y\) 的方案数。也就是 \(i-k\) 步走出了一个 \((x,y)\) 的向量。

其中走 \(i\) 步到的地方是首次经过的，那么可以使用 \(f[i]\)。

用 \(j\) 步走一个固定向量 \((x,y)\) 的方案数可以递推出来，设为 \(h[j][x][y]\)。（其中 \(C_i=h[i][0][0]\)）。

有：

\[g[k][x][y]=\sum_{i=0}^kf[i]\times h[k-i][x][y] \]

但是这样会算重，算重的部分就是 \(j\) 步后到的格子（设为 \(P\)）被经过两次。

这里分类讨论一下，看是在走 \(i\) 步到的格子 \(Q\) 前被经过还是 \(Q\) 后：

• 先经过了 \(P\)，再绕了个圈经过 \(P\)。这种情况在绕圈的时候不能经过 \(Q\)，方案数为 \(g[j][x][y]\times (C_{k-j}-W[k-j][-x][-y])\)。

• 先经过 \(P\)，再经过 \(Q\)，再经过 \(P\) 。这样就是 \(f[j]\times W[k-j][x][y]\)

其中 \(W[i][x][y]\) 表示从出发点走了 \(i\) 步绕回来，并且经过了和出发点呈 \((x,y)\) 向量的点。

最后的问题就是求 \(W\) 了。

枚举走了 \(j\) 步后形成 \((x,y)\) 的向量，那么剩下 \(i-j\) 步就形成了 \((-x,-y)\) 的向量，但是不能经过出发点。

所以

\[W[i][x][y]=\sum_{j=0}^{i-1}h[j][x][y]\times dp[i-j][-x][-y] \]

其中 \(dp\) 数组表示上方斜体的方案，求解只需要用 \(h\) 减去过 \((0,0)\) 的圈就行了。

最后统计答案：

\[\sum_{i=0}^n\sum_{(x,y)\neq(0,0)}g[i][x][y]\times sum^{n-i} \]

至此，本题得到了完美的解决。