多项式exp

1.牛顿迭代

求 \(f(x)\) 的零点，已知初始点 \(x_0\)。

那么可以用这个函数的切线的零点去拟合。

过 \((x,f(x))\) 做函数的切线，根据导数的定义，有：

\[f'(x)=\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]

改 \((x,f(x))\) 为 \((x,y)\)。

那么切线方程：

\[y=f'(x)(x-x_0)+f(x_0) \]

令 \(y=0\)，有：

\[x=x_0-\frac {f(x_0)}{f'(x_0)} \]

多次拟合就好了。

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2.多项式exp

\[B(x)\equiv e^{A(x)}(\mod x^n)\\ \]

两边取ln，得：

\[\ln B(x)-A(x)\equiv 0 \]

符合牛顿迭代的式子，那么令 \(F(x)=\ln(x)-A(x)\) ，有

\[F(G(x)))\equiv \ln G(x)-A(x)\\G(x)=G_0(x)-\frac{F(G_0(x))}{F'(G_0(x))}\\=G_0(x)-\frac {\ln G_0(x)-A(x)}{\Large\frac{1}{G_0(x)}}\\=G_0(x)(1-\ln G_0(x)-A(x)) \]