BZOJ3629 聪明的燕姿 【例题精讲】
题意：给出一个数S，求约数和等于S的数。
这是一道数学题，深搜只是个幌子，如果是纯代码的话，会非常难读，所以我写一份比较详细的题解，但恐怕还是不能把这道题的美妙写尽，罢了，数学的精彩是需要有心人领会的，可惜我没心；
在解决这道题之前，在数学上需要储备两项知识：
1.算数基本定理：任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P₁^a₁ P₂^a₂…Pn^an，这里P₁<P₂<…<Pn均为质数，其诸指数ai是正整数。
2.约数和定理：对于任意一个大于1的正整数N可以分解正整数：N=P₁^a₁ P₂^a₂…Pn^an，则由约数个数定理可知N的正约数有(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(an+1)个，那么N的(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(an+1)个正约数的和为f(N)=(P₁^0+P₁^1+P₁^2+…P₁^a₁)(P₂^0+P₂^1+P₂^2+…P₂^a₂)…(Pn^0+Pn^1+Pn^2+…Pn^an)。
建议上网搜或者翻课本来加深对这两个知识的理解；
题中涉及了筛素数，所以建议大家掌握筛法的优化，这里不多解释，网上写的很多，也足够清楚；
接下来咱们马上看整个程序最核心的思想，我们学了约数和定理，是用来求原数的约数和的，但是这道题是给了一个约数和，让我们找所有可能的原数，所以不免会用到枚举，我们可以从这个式子入手：
f(N)=(P₁^0+P₁^1+P₁^2+…P₁^a₁)(P₂^0+P₂^1+P₂^2+…P₂^a₂)…(Pn^0+Pn^1+Pn^2+…Pn^an)。
我们可以看到，p1p2这样的素数我们可以递增去枚举，对于指数a可以用循环判断来做到，当我们确定了一组可行的因式时（形如(P₁^0+P₁^1+P₁^2+…P₁^a₁)），就可以把它从原式里除去，这就达到了拆分原数的目的；根据题意我们可以知道，我们把原式拆成1之后，就需要看我怎么得到我要的结果，我们仔细观察这个式子
拆完之后，P₁^a₁*P₂^a₂*...*Pn^an 这就是我想得到的一组解，这个数的约数和就是原数！为什么呢？因为在原式中，P₁^0、P₁^1...这些都是P₁^a₁的因式，以此类推，所以分解因式之后再加起来，就是我要的原数，这一点很神奇；
另外，我如果在搜索的时候，拆剩下的数减1是一个新的质数，那么就可以看成是Pn^0+Pn^1这种形式，即是满足上面列的等式的，我只需要把以前拆出来的P₁^a₁*P₂^a₂*...等各项再乘给Pn^1，依然会得到一个非常合法的结果，这样，这道题就算得以解决了，只是有些代码问题还非常谜，我会给出比较详细的注释的；
现在分享代码：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<string> 4 #include<cstring> 5 #include<cstdlib> 6 #include<cmath> 7 #include<algorithm> 8 #include<queue> 9 #include<stack> 10 #include<iterator> 11 using namespace std; 12 const int MAXN=100010; 13 bool nop[MAXN];int isp[MAXN]; 14 long long ans[MAXN],sum,num,cnt=0; 15 long long n,m; 16 void prime()//筛素数； 17 { 18 nop[0]=nop[1]=1; 19 for(int i=2;i<=MAXN;i++){ 20 if(!nop[i]) isp[++cnt]=i; 21 for(int j=1;j<=cnt&&isp[j]*i<MAXN;j++){ 22 nop[isp[j]*i]=true; 23 if(i%isp[j]==0) break; 24 } 25 } 26 } 27 bool pd(long long x)//判素数 28 { 29 if(x==1)return 0; 30 for(int i=1;isp[i]*isp[i]<=x;i++){ 31 if(x%isp[i]==0)return 0; 32 } 33 return 1; 34 } 35 void dfs(long long now, int k, long long left)//now是目前搜出的结果（形如pow(P1,a1)*pow(P2,a2)*...这样的式子），k是目前用到的素数，left是把原数拆分后剩余的部分； 36 { 37 if(left==1){//如果原式被拆完了，那就得出结果； 38 ans[++cnt]=now; 39 return ; 40 } 41 if(left-1>=isp[k]&&pd(left-1)){ 42 ans[++cnt]=(left-1)*now;//题解中补充的问题，望诸位理智吸收 43 } 44 for(int i=k;isp[i]*isp[i]<=left;i++){ 45 for(long long tmp=isp[i]+1,tt=isp[i];tmp<=left;tt*=isp[i],tmp+=tt){ 46 if(left%tmp==0){//这是在拆分P和a，tt是用来完成乘方运算的，tmp是来完成各约数相加的； 47 dfs(tt*now,i+1,left/tmp); //"/tmp"是在拆式子，tmp是各种因式； 48 } 49 } 50 } 51 return ; 52 } 53 int main() 54 { 55 prime(); 56 while(~scanf("%lld",&n)){ 57 memset(ans,0,sizeof(ans)); 58 cnt=0; 59 dfs(1,1,n); 60 sort(ans+1,ans+1+cnt); 61 printf("%lld\n",cnt); 62 for(int i=1;i<cnt;i++){ 63 printf("%lld ",ans[i]); 64 } 65 if(cnt) 66 printf("%lld\n",ans[cnt]); 67 } 68 return 0; 69 }
