HZOJ Function

比较神仙的一道dp，考试的时候还以为是打表找规律啥的。

我们重新描述一下这道题:一个10 9 × n的网格,每个格子有一个权值,每一列格子的权值都是相同的。从一个起点开始,每次可以向上走一格或者向左上角走一格,直到走到最上面一行为止,你需要最小化经过的格子的总权值。

然而我并没有看出来。

首先我们可以发现一些显然的性质,最优的路径之一一定形如:先往左上走若干步(可能不走),到达权值较小的一列后,一直往上走到顶。对于每个询问,枚举从起点出发最终会到达哪一列,就可以得到一个O(nq)的做法。

然而我也没有想到……

算了直接把作者的题解全放出来吧：

对于任意1 ≤ i ≤ j ≤ n, 从(x, j)出发最终到达第i列然后走到顶的代价,可以表示为一个关于x的一次函数,我们只关心这些一次函数的最小值,也就是这些直线形成的下凸壳。我们得到一个思路:将询问离线,按y从小到大排序,从最左边开始每次加入一条直线,维护下凸壳,然后在凸壳上二分即可得到答案。怎么维护下凸壳呢?对于一个点(x, y),它要么继承上一列x − 1的决策,要么就直接往上走到顶。并且我们发现,第二种情况只会出现在从顶端开始连续的一段中。于是我们只需要用栈维护凸壳即可。O((n + q) log n).

刚开始没怎么看懂，好像我的做法和题解也不是很一样，其实现在还有一些细节没有搞明白……

首先看暴力的式子：$ans=min(ans,sum[y(i)]-sum[j]+(x(i)-y(i)+j)*A[j])$

在y固定时，他是一个关于x的一次函数，即$y=kx+b$的形式，设走到j时停止然后向上走，那么$k=A[j],b=sum[y]-sum[j]+(j-y)*A[j]$

对于每一个j都是一条直线，那么这些直线构成了一个上凸壳。

我们可以用On的复杂度枚举y，用栈维护凸壳（添加直线是加在了坐标系的最左边），考虑y增加会给直线造成什么影响，只会使直线的截距发生改变而斜率不变，所以原来的凸壳仍然是对的。

那么考虑如何吧j=y的这条之间加入凸壳，首先将斜率大于这条直线的栈顶直线弹掉，然后交点也得是单调的，继续弹掉不合法的，（自己yy一下坐标系，横轴是询问的x，纵轴为最优解），

然后处理当前y的询问，直接二分栈找到当前x在坐标系中对应的直线就可以了（一定注意栈顶其实是坐标轴最左边的直线）。

放下代码（稍恶心）：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define st sta[top]
#define sm sta[mid]
#define sm1 sta[mid+1]
#define st1 sta[top-1]
#define int LL
#define LL long long
using namespace std;
struct ques
{
    int x,y,id;
    #define x(i) que[i].x
    #define y(i) que[i].y
    #define id(i) que[i].id
    friend bool operator < (ques a,ques b)
    {return a.y<b.y;}
}que[500010];
int n,A[500010],q,maxx;
LL sum[500010],al[500010];
LL sta[500010],top;
double getx(int k1,int k2,int j1,int j2){return (double)(j2-j1)/(double)(k1-k2);}
inline int read();
signed main()
{    
//    freopen("function2.in","r",stdin);
//    freopen("out.out","w",stdout);
    
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)A[i]=read(),sum[i]=sum[i-1]+A[i];
    q=read();
    for(int i=1;i<=q;i++)x(i)=read(),y(i)=read(),id(i)=i;
    sort(que+1,que+q+1);
    
    int now=1;
    for(int y=1;y<=n;y++)
    {    
        while(top&&A[sta[top]]>=A[y])top--;
        while(top>1&&
                getx(A[y],A[st],0,sum[y]-sum[st]+A[st]*(st-y))
              >=getx(A[st1],A[st],sum[y]-sum[st1]+A[st1]*(st1-y),sum[y]-sum[st]+A[st]*(st-y))
                )top--;
        sta[++top]=y;
        for(;y(now)==y&&now<=q;now++)
        {
            int l=1,r=top,mid;
            while(l<r)
            {
                mid=(l+r)>>1;
                double tx=getx(A[sm],A[sm1],sum[y]-sum[sm]+A[sm]*(sm-y),sum[y]-sum[sm1]+A[sm1]*(sm1-y));
                if(x(now)<=tx)l=mid+1;
                else r=mid;
            }
            mid=l;
            al[id(now)]=sum[y]-sum[sm]+A[sm]*(x(now)-y+sm);
        }
        
    }
    for(int i=1;i<=q;i++)printf("%lld\n",al[i]);
}
inline int read()
{
    int s=0,f=1;char a=getchar();
    while(a<'0'||a>'9'){if(a=='-')f=-1;a=getchar();}
    while(a>='0'&&a<='9'){s=s*10+a-'0';a=getchar();}
    return s*f;
}