bzoj 4386: [POI2015]Wycieczki

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这题什么素质，爆long long就算了，连int128都爆……最后还是用long double卡过的……而且可能是我本身自带大常数吧，T了好长时间……

先说一下超级汇点的计数吧，先说结论：

1.将所有点（此题中只有一级点）向一个超级汇点0连边，将矩阵乘n次，相应的f[i][j]即为从i到j的走n步方案数，f[i][0]为i到0走n步的方案数，若在给他乘一个ans矩阵（ans在前），则f[0][0]-n（点数）为所有长度等于n（指数）的路径的方案数。ans矩阵为0向所有其他点连边。

2.若在1中，将0想自己连边，则每次相乘都会积累，最终得出的即为所有长度小于等于n的路径方案数。

具体可以这样理解：

ans矩阵相当于从超级汇点出发走一步，每乘一个base矩阵，相当于走一步，乘了n次后，相当于走n步，但是还要再乘一个base，相当于各点回到0，而计数器中仍保留着从0走出的方案数，此时f[0][0]-点数即为答案。（这种问题自己手模一下会更容易理解吧）。

然后是题解：

边权只有1，2，3三种，考虑拆点（在‘迷路’中也用到了同样的方法），将一个点分为三级，$get(int po,int w){return (po-1)*3+w;}$,将每个点的第一级向第二级连边，第二级向第三级连边，对于一条a->b,长度为w的边，从a的第w级向b的第一级连长度为1的边。

代码实现：

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        a=read(),b=read(),c=read();
        cs.m[get(a,c)][get(b,1)]++;
    }    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {    
        cs.m[get(i,1)][get(i,2)]++;
        cs.m[get(i,2)][get(i,3)]++;
    }

 这样就得到了一个初始矩阵，构造出ans矩阵，显然可以二分枚举长度解决，但是复杂度比较高会T，考虑倍增，提前预处理出初始矩阵乘$2^i$后的矩阵，像LCA那样搞就可以了。

然而这道题还有几个坑点：

方案数乘的时候会爆longlong（如果你打的恶心点连__int128都会爆），可以加判断，个人感觉比较麻烦，于是就用了double，还会爆？丝毫不慌还有long double。

然后就T了，用lemon测了一下，跑了一百多秒，好在都跑对了，其实这不是long double的锅，和我自带的大常数关系也不大，在预处理倍增数组时我固定给他求到了65，导致时间比较长，其实可以记录一下：

for(int i=1;i<=65;i++,imax++){F[i]=F[i-1]*F[i-1];if((ans*F[i]).count()>k)break;}

 然后就A了，跑得还挺快。其实我还是搞不懂为啥会差这么多，固定求到65复杂度也是$n^3log_n$啊……

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N n*3
#define LD long double
#define LL long long
using namespace std;
int n,m;LL k;
struct jz
{
	LD m[121][121];
	LD count() {return m[0][0]-n;}
}cs,ans,F[70];
jz operator * (jz &a,jz &b)
{
	jz ans;
	for(int i=0;i<=N;i++)
		for(int j=0;j<=N;j++)
			ans.m[i][j]=0;
	for(int i=0;i<=N;i++)
		for(int j=0;j<=N;j++)
			for(int k=0;k<=N;k++)
				ans.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j];
	return ans;
}
inline int get(const register int po,const register int w){return (po-1)*3+w;}
inline LL read()
{
	LL s=0;char a=getchar();
	while(a<'0'||a>'9')a=getchar();
	while(a>='0'&&a<='9'){s=s*10+a-'0';a=getchar();}
	return s;
}
signed main()
{
//	freopen("10.in","r",stdin);

	n=read(),m=read(),k=read();
	int a,b,c;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		a=read(),b=read(),c=read();
		cs.m[get(a,c)][get(b,1)]++;
	}	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{	
		cs.m[get(i,1)][get(i,2)]++;
		cs.m[get(i,2)][get(i,3)]++;
	}
	LL imax=1;
	cs.m[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)cs.m[get(i,1)][0]++;
	for(int i=1;i<=n;i++)ans.m[0][get(i,1)]=1;
	F[0]=cs;
	for(int i=1;i<=65;i++,imax++){F[i]=F[i-1]*F[i-1];if((ans*F[i]).count()>k)break;}
	if((ans*F[imax]).count()<k){cout<<-1<<endl;return 0;}
	LL num=0;
	for(int i=imax;i>=0;i--)
	{
		jz tm=ans*F[i];
		if(tm.count()<k){num+=1ll<<i;ans=ans*F[i];}
	}
	cout<<num<<endl;
}