P1306 斐波那契公约数

P1306 斐波那契公约数

P1306 斐波那契公约数

给定 \(n,m\) 求 \(Gcd(Fib_n,Fib_m)\) 。（\(1\leq n,m\leq 10^9\)）

结论：\(Gcd(Fib[n],Fib[m])=Fib[Gcd(n,m)]\) 。

证明见题解..

有了这个结论这个题就等价于求 \(Fib[n]\) 。（\(n\leq 10^9\)）

于是我们可以考虑矩阵快速幂。（好久没打了，都忘了。）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x){
	x=0;char ch=getchar();bool f=false;
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-'){f=true;}ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	x=f?-x:x;
	return ;
}
template <typename T>
inline void write(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10^48);
	return ;
}
const int N=3e5+5,mod=1e8;
#define int long long
int n,m;
int gcd(int x,int y){return !y?x:gcd(y,x%y);}
inline int inc(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
struct Matrix{
	int a[2][2];
	inline Matrix operator * (const Matrix B) const{
		Matrix c;
		memset(c.a,0,sizeof(c.a));
		for(int i=0;i<2;i++){
			for(int j=0;j<2;j++){
				for(int k=0;k<2;k++){
					c.a[i][j]=inc(c.a[i][j],a[i][k]*B.a[k][j])%mod;
				}
			}
		}
		return c;
	}
}q,p;
Matrix QuickPow(Matrix x,int y){
	Matrix res;
	memset(res.a,0,sizeof(res.a));
	res.a[0][0]=res.a[1][1]=1;
	if(!y) return res;
	while(y){
		if(y&1) res=res*x;
		x=x*x;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
signed main(){
	read(n),read(m);
	int Gcd=gcd(n,m);
	q.a[0][0]=q.a[0][1]=1;p.a[0][1]=p.a[1][1]=p.a[1][0]=1;
	q=q*QuickPow(p,Gcd-1);
	write(q.a[0][0]%mod);
	return 0;
}