[动态规划-背包问题入门] 原理，运用，实战

背包问题 -- 动态规划经典类型

动态规划是将问题细分为有限个小问题并通过递推或递归来求得最终值。具象化来说，就是对某一问题的答案，我们转化为dp[n]，而对于0 <= i < n，dp[i][j] 的值会根据前后上下的相关值来变化（i.e. dp[i-1][j]或dp[i][j-1]）。注意这时算法强调的不是【容量】，而是【上下文】，即当遍历到第i个对象时，根据对象i有无被包含的情况来判断是否更新dp[i][j]。

而背包问题则是强调了【容量】，即给定一个固定大小的背包，算法需要在有限的空间找出最优解。这就和上下文失去了联系，对于任意对象i，假设其重量为weights[i]，目前最大重量为j，则dp[i][j] = dp[i-1][j-weights[i]] + weights[i]，dp[i][j]就是在最大重量为j的时候带上对象i的最大重量，注意这个前提是j - weights[i]>=0。

相似地，二维数组中dp[i][j]只与dp[i-1]一行相关，因此可以进行空间优化，将dp数组优化为一维数组。这也是很多动态规划问题中可选的优化方式。

运用

下面这段伪代码大概展示了如何用代码解决背包问题，当然根据具体的情况，会有很大的调整，比如内外循环的选择，dp[j]取值的选择等等。

int backpack(vector<int>& weights, int maxWeight):
  create dp(weights.size() + 1); // 包括一个dp[0]作为边界
  for j = 1 -> n {
    for each item:
	if weights[item] <= j:
	  // 背包需要空出存放item的位置
	  dp[j] = weights[item] + dp[j-weights[item]]
  return dp[n];

实战

• 完美平方数 https://leetcode.cn/problems/perfect-squares/?envType=study-plan-v2&id=dynamic-programming

• 零钱兑换II https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/?envType=study-plan-v2&id=dynamic-programming
  将遍历物品放在外循环，以避免相同元素不同排列的情况

• 组合总和IV https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/?envType=study-plan-v2&id=dynamic-programming
  注意C++的int大小，如果超出int范围的则需要另外处理

• 一和零 https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes/
  该题中有两个容量，所以一般来说需要一个三位数组以包括这两个容量以及物品，也可以优化成一个二维数组