[tarjan强连通分量算法] 目的，原理，思路，图解，伪代码，实例

强连通分量算法（Tarjan's Strongly Connected Component Algorithm)

利用深度优先算法找到一个非强连通的有向图中的所有强连通子图。无向图可以被认为是同时具备u->v和v->u的图。

一些概念

• 强连通：在有向图中，任意点u与v之间存在有来回两个方向的通路，类似存在一个环；

• 强连通图：图中任意两点存在强连通；

• 强连通分量：图中存在强连通的子图；

• DFN(u)：定义为第一次访问点u时的时间戳；

• LOW(u)：定义为u或u的子树能够回溯到的最早的栈中节点的DFN(u)。

原理 + 思路

当dfn[u] = low[u]时，以u为根的子树上所有节点是一个强连通分量。

1. 首次访问某点u时，令low[u] = dfn[u] = index(or time)（初始化）

2. 每到达一个点u，将其入栈（dfs的内容）

3. 遍历所有与点u相连的点v：

   • 若v不在栈中（树枝边）即未被访问过，递归方法继续往v后面搜索（如dfs()/tarjan())，最终会得出新的low[v]；即low[u]=min(low[u], low[v])；

   • 若v在栈内即已被访问，通过比较low[u]和v第一次被访问时的序列号/次数，来更新low[u]，即low[u] = min(low[u], dfn[v])。

4. 通俗一点的解释，来自GFG:

假设点u现在需要前往一个老前辈家里，这必须是一个非常非常非常老的前辈；

dfn代表点u自己的编号（第一次被访问到时的序号），low则是点u通过自己的小孩能联系到的最老的前辈（其子树所能到达的最远的祖先节点）。但是初始时我们不知道点u是否有小孩，所以dfn = low，即点u就是它自己的祖先节点；然后我们带着u去找它所有的小孩（程序去遍历u的所有子节点），查看是否有小孩能把点u带到更远的祖先那里去。如果有，我们就更新点u的low值；如果一个都没有，那么点u就准备下车回家（退栈)。注意在这过程中所有的小孩也要遍历一遍自己的小孩，来更新自己的值，以此类推，知道实在没有小孩了为止（无后续子节点）。

当然该过程中有两种情况：

• 之前没问过小孩（visited = false）：递归求得小孩的low值，更新点u的low值；

• 之前有人问过小孩了（visited = true）：说明这个"小孩"其实比点u还大（index值靠前，先入栈的），那点u就更新自己的low值，把这个"小孩"当成祖先。

如果有复数个子节点可以把点u带到更远的祖先那里，那么程序就看哪一个祖先的首次序列号dfn更小（即更靠前），点u就去哪。

图解（来自史上最清晰的Tarjan算法详解-segementFault）

强连通分量：[{0,1,2,3},{4},{5}]

第一步：从节点0开始

• 首先访问 0 -> 2 -> 4 -> 5并将其加入栈。根据访问顺序标记为1至4。这里也可以从0往1走。

• 对于节点5（栈内第一个元素），没有后续的节点了，检查到dfn[5] = low[5] = 4，所以退栈，得{5}为一个强连通分量。

第二步：返回节点4

• 节点4只有一个子树（节点5，已退栈），因此low[4] = min(low[4], low[5]) = low[4] = 3。

• 节点4后无其他子节点，且low[4] = dfn[4]，退栈，得到第二个强连通分量。

第三步：返回节点2，并访问节点3及其子树

• low[2] = min(low[2], low[4]) = 2，节点4（已出栈）是其中一个子节点， 节点2仍有后续子节点；

• 继续探索节点2的另一个子节点3。节点3入栈，初始化dfn[3] = low[3] = 5；

• 发现节点3有通向节点0的路径，且节点0仍在栈中，有low[3] = min(low[3], dnf[0]) = 1；

• 发现节点3有通向节点5的路径，但5已退栈，无需更新low[3]。

第四步：从节点3返回节点2

• 根据刚刚得到的新low[3]更新low[2] = min(low[2], low[3]) = 1；

• 节点2无其他后续子节点，返回0

第五步：返回节点0，并访问节点1及其子树

• 根据low[2]更新low[0]，low[0] = min(low[0], low[2]) = 1;

• 发现节点1，dfn[1] = low[1] = 6;

• 发现后续节点3且3还在栈内，low[1] = min(low[1], dfn[3]) = 5

第六步：返回节点0

• dfn[0] = low[0] = 1, 退栈至0，得

伪代码

void tarjan(int u) {
  ++index;
  dfn[u] = low[u] =index;                // 节点u的初始值
  stack.push(u);                         // 入栈
  for (auto& e : edges[u]) {             // 遍历与u相连的点
	if (!visited[e]) {               // 若e未被访问过
	  tarjan(e);                     // 继续向下找其子节点
	  low[u] = min(low[u], low[v]);
	}
	else if (e is in stack) {        // 若e被访问过且还在栈内
	  low[u] = min(low[u], dfn[e]);
	}
  }
  if (dfn[u] == low[u]) {                // 遍历完所有子节点后，检查是否相等
    while (!stack.empty()) {             // 循环退栈并打印
	  v = stack.pop();
	  print v;
	}
  }
}

实例

• 查找集群内关键边