2024/1/23 算法笔记

1. 负进制数

[P1017 NOIP2000 提高组] 进制转换 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

所谓负进制数，就是进制数为负数的一种实数表示法。

例如，-15(十进制)相当于110001(-2进制),并且它可以被表示为2的幂级数的和数:
110001=1(-2)^5+1*(-2)4+0(-2)^3+0*(-2)2+0(-2)^1 +1(-2)^0

我们对于给定的一个数，求它关于进制x（一个负数）的进制表示，要怎么做呢？

首先，应该了解如何将10进制转换成n进制，这里需要用短除法。将10进制数取余n，其商再继续取余直到该数被除至0，依次得到的余数倒序即为该10进制数的n进制表示。如果将10进制转换为-n进制呢？方法基本一样，只不过要注意的是要使其余数>=0，绝对不能为负数。举个例子，将10进制数15转换成-2进制：

• -15 - 8*(-2) = 1
• 8 - (-4)*(-2)=0
• -4-2*(-2)=0
• 2-(-1)*(-2)=0
• -1-1*(-2)=1
• 1不用做处理直接多一位1 然后被除数=0 因为进制是负数

我们要保证 这个 除数 × 商 + 余数 = 被除数

在C++里，-15%-2=-1，-15/-2=7,而7*-2+（-1）=-15

但是因为我们是不断取余数倒序为转换结果，所以余数不能出现负数。

所以我们只需要将商+1，余数-除数即可，因为余数（绝对值）一定小于除数，所以这样就可以将余数装换为正数

证明：（商+1）×除数+（余数-除数）= 商×除数+除数+余数-除数=商×除数+余数=被除数

我们将mod改写一下，其他部分和正数进制转化是相同的。

int MOD(int &n,int a,int b){
    if(a<0 && a%b!=0){
        n = a/b+1; //这个n其实是每一次运算的商，下一次运算的被除数。
        return a-(a/b+1)*b;
    }
    n=a/b;
    return a%b;
}

2. set 和 unordered_set

P3913 车的攻击 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

方法简单，但是当你使用set去重的时候，要注意：

如果你的方法不需要用到set的自动排序的功能，推荐使用unordered_set，具体表现是插入速度更快。

有时候就卡你一手tle。所以还是要拓宽知识面。

然后该开longlong的时候要看清楚数据范围。不要忘记。

void solve(){
    LL n,k;
    cin>>n>>k;
    unordered_set<LL>s1,s2;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        LL x,y;
        cin>>x>>y;
        s1.insert(x);
        s2.insert(y);        
    }
    int len1 = s1.size();
    int len2 = s2.size();

    cout<<1LL*len1*n + 1LL*abs(n-len1)*len2;
}

3. 其他

3.1 最大公约数和最小公倍数问题

[P1029 NOIP2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

tips:如果你想要使用标准库中的gcd ：std::__gcd(int a,int b); //如果你要longlong类型的就把参数类型改一下。

LL gcd(LL a,LL b){  //最好记一下
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

void solve(){
    int x,y;
    cin>>x>>y;
    LL tmp = x*y;
    int sum=0;
    int cnt=0;
    for(LL i=1;i*i<=tmp;i++){
        if(tmp % i ==0){
            LL j = tmp / i;
            if(gcd(i,j)==x) {
                // debug(i)debug(j)
                sum++;
                if(i==j) cnt++;
            }
            
        }
        else continue;
    }
    cout<<1LL*sum*2-cnt<<endl;
}

dont forget the LL

今天内容不是很多，因为打的都是宝宝巴士
总之有收获的我都会发。