2024/1/19 算法笔记
题目1：最大公约数的延伸问题
P1414 又是毕业季II - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
题目上提及了最大公约数，但是解答却没有直接使用最大公约数doge
题目意思是 给定n个数，再给定一个k，往这n个数中取k个，求这k个数的最大公约数是多少？
然后题目的要求是k的取值为1到n全部取一遍，分别求出对应的最大公约数。
我们知道，当取的数的个数越多，最大公约数肯定是小于等于取的个数少时的答案的。因为限制会变多。
一开始很容易想到枚举n个数取k个的所有组合，然后分别用辗转相除法求最大公约数，但是复杂度明显不符合要求，于是必须换一种思路。
我们想到，k个数的公约数含义就是这k个数均含有某个因数，如果我们把所有数的因数全部求出来，发现有k个数均含有某个因数，那么这个数必然是这k个数的公约数。其中找出最大的就是它们的最大公约数。但是要如何高效的做到这点呢？考虑到对于k=1，2……，n都要求出，我们可以这么做：
* 1、 求出每个因数出现的次数。
* 2、 对于每个次数记录最大的因数。
我们在输出答案的时候 选择默契值的最大值t开始往小查找。只要这个默契值的出现次数大于等于当前我们遍历到的人数，就可以认定为它是最大公约数，因为是从大到小遍历的。
于是我们的 做法如下：
void solve(){
int t = 0;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
int x;
cin>>x;
t = max(t,x);
int m = sqrt(x);
for(int j=1;j<=m;j++){
if(x%j==0){
c[j]++; //c[]用于记录某个因子的出现次数。
if(x!=j*j) c[x/j]++;
}
}
}
//输出结果。
int x= t;
for(int i=1;i<=n;i++){
while(c[x]<i)x--;
cout<<x<<endl;
}
}
题目2：前缀和&差分
基础：
前缀和解答区间查询问题：P8218 【深进1.例1】求区间和 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
解答:
int a[100005],b[100005];
void solve(){
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
b[i] = b[i-1]+a[i]; //这里做出前缀和
}
int m;
cin>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
int l,r;
cin>>l>>r;
cout<<b[r]-b[l-1]<<endl; //这里记住如何求区间和
}
}
前缀和+差分解答多次区间增值问题：P2367 语文成绩 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
解答：
int a[5000005],b[5000005];
void solve(){
int n,t;
cin>>n>>t;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
b[i] = a[i]-a[i-1]; //差分数组，事实上是后一项减去前一项的差值。
}
for(int i=1;i<=t;i++){
int l,r,x;
cin>>l>>r>>x;
b[l]+=x;
b[r+1]-=x; //公式化的区间增值。记住就好，可以画图理解。
}
int minn=inf;
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i] =a[i-1] + b[i]; //这里是差分数组转换为正常数组，也就是前缀和的逆形式。 可以观察和前面差分处理的区别。
minn = min(a[i],minn);
}
cout<<minn<<endl;
}
拓展：二维前缀和 和 二维差分
P3397 地毯 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
int main()
{
cin>>n>>t;
while(t--) //二维差分
{
cin>>lx>>ly>>rx>>ry;
++b[lx][ly];
--b[rx+1][ly];
--b[lx][ry+1];
++b[rx+1][ry+1];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
{
a[i][j]=b[i][j]+a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1]; //求原数组
cout<<a[i][j]<<" ";
if(j==n) cout<<endl;
}
return 0;
}
题目3：离散化
暂时没找到专门讲这个的题，后面再补充吧
题目4：双指针
事一个双指针的题，归类到了离散化名下。但是我还是不知道是否是离散化。
[P3029 USACO11NOV] Cow Lineup S - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
做法是将距离（struct node中的x）由小到大排序，然后在一个窗口中框住含有每一个不同种类的奶牛，维护距离的最小值，然后处理窗口左边界。
struct node {
int x,p;
}s[70005];
bool cmp(node a,node b){
return a.x<b.x;
}
void solve(){
int n;
cin>>n;
map<int,int>t;
map<int,bool>vis;
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>s[i].x>>s[i].p;
if(vis[s[i].p]==0){
sum++;
vis[s[i].p] = 1;
}
}
sort(s+1,s+1+n,cmp);
int tail = 1;
t[s[1].p]++;//最左边，第一格
int tmp = 1;
int ans = inf;
//滑动窗口思想
for(int i=1;i<=n;i++){
while(tmp<sum&&tail<n){
tail++;
t[s[tail].p]++;
if(t[s[tail].p]==1) tmp++;
}
if(tmp == sum) ans = min(ans,s[tail].x - s[i].x);
t[s[i].p]--;
if(t[s[i].p] == 0)tmp--;//处理左端 相当于左边界往后挪了一格。
}
cout<<ans<<endl;
}
另外，今日有一场萌新赛，打得很垃圾，5/8。希望这几天能补满。
更新的时候我居然还没补，明天补上。23
