黑暗城堡

题意：有\(n\)个点，\(m\)条边，设\(D[i]\)位第\(i\)号房间与第\(1\)号房间的最短路径长度，\(S[i]\)位实际生成树中第\(i\)号房间与第\(1\)号房间的路径长度，要求对于所有整数\(i\)，都有\(S[i] = D[i]\)成立，求生成树的方案数。

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解法：先用\(Dijkstra\)求出\(1\)号房间到每个房间的最短路长度，然后按\(dis\)排序（可以不用排序，因为只能从小的边权得到大的边权），利用类似\(Prim\)的思想，算出集合\(S\)连向集合\(T\)中\(v\)点，使得\(dis[v] = dis[T]+ edg[i]\)的边数，然后利用乘法原理计算方案数即可。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
#define maxn 1010
#define maxm 1000100
#define mp make_pair
#define pr pair<int, int>
int n, m;
int fir[maxn], nxt[maxm], vv[maxm];
long long edg[maxm];
int tot = 0;
void add(int u, int v, long long w)
{
	nxt[++tot] = fir[u];
	fir[u] = tot;
	vv[tot] = v;
	edg[tot] = w;
}
long long dis[maxn];
priority_queue<pr, vector<pr>, greater<pr> > q;
void dijkstra(int x)
{
	memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
	dis[x] = 0;
	q.push(mp(0, x));
	while(!q.empty())
	{
		pr tmp = q.top(); q.pop();
		int u = tmp.second;
	    for(int i = fir[u]; i; i = nxt[i])
	    {
		    int v = vv[i];
		    if(dis[v] > dis[u] + edg[i])
		    {
		    	dis[v] = dis[u] + edg[i];
		    	q.push(mp(dis[v], v));
		    }
	    }
    }
}
#define mol 2147483647
long long ans = 1;
int d[maxn], cnt = 0;
long long sum[maxn];
void prim()
{
	d[++cnt] = 1; d[1] = 0; sum[1] = 1; 
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for(int j = fir[i]; j; j = nxt[j])
		if(dis[vv[j]] == dis[i] + edg[j]) sum[vv[j]]++; 
	} 
	for(int i = 1; i <= n; i++) ans = ans * sum[i] % mol;
}
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int u, v; long long w; 
		scanf("%d%d%lld", &u, &v, &w);
		add(u, v, w); add(v, u, w);
	}
	dijkstra(1);
	prim(); 
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}