网格

BZOJ3907 网格

某城市的街道呈网格状，左下角坐标为 A(0,0)A(0,0)，右上角坐标为 B(n,m)B(n,m)，其中 n≥mn≥m。现在从 A(0,0)A(0,0) 点出发，只能沿着街道向正右方或者正上方行走，且不能经过图示中直线左上方的点，即任何途径的点 (x,y)(x,y) 都要满足 x≥yx≥y，请问在这些前提下，到达 B(n,m)B(n,m) 有多少种走法。

解析：卡特兰数。（1,2,5,14,42,132......)当卡特兰数不明显时，可通过打表找规律

典型例子：

从(0,0)走到(n,n)且不经过直线y=x的路线数量

另右移为0,上移为1，则问题转化为由n个0和n个1排成的，任意前缀中0都不少于1的序列数量（卡特兰数）

所以总方案数为Catn*2

从(0,0)走到(n,n)且不接触直线y=x的路线数量

用卡特兰数很容易解决：（第一步也可以走到（1,0），我们只需算出一种，另一种*2即可）第一步肯定到了(0,1)，且最后一步肯定到了(n,n-1),故总方案数为Catn-1(乘2)

我们也可以利用对称的思想解决这两个问题（这个思想也是解决本题的关键所在）：

从(0,0)走到(n,n)且不接触直线y=x的路线数量

从(1,0)走到(n,n-1),如果不考虑接触直线的问题，那么总方案数为C（n-1,2n-2）,(1,0)关于直线y=x的对称点为(0,1)

从(0,1)走到(n,n-1)一定会经过直线y=x，这于从(1,0)经过y=x再走到(n,n-1)的路径数是相等的，所以满足题意的方案数为(C(n-1,2n-2)-C(n,2n-2))(Catn-1)（乘2）

从(0,0)走到(n,n)且不经过直线y=x的路线数量

这个问题等价于不接触直线y=x+1,所以过(0,0)作关于直线y=x+1的对称点(-1,1),从(-1, 1)到点(n, n)必定接触y=x+1，方法数为C(2n - 1, 2n),所以符合要求的方法数为：C(n, 2n) - C(2n - 1,2n) = C(n, 2n) - C(2n + 1,2n) = Cat(n)(乘2)

接下来终于到了这道题的解法：

过（0,0）作关于直线y=x+1的对称点（-1,1），过（0,0）且接触直线y=x+1的方案数等于从（-1,1）的方案数

C（n+1,n+m),从（0,0）到（n,m)的总方案数为C(n,n+m),所以答案的方案数为C（n,n+m)-C(n+1,n+m)

(也可用对称矩形的方法来解决此题,而且正确性更易证明)

因为不会写高精，所以没有代码