zz Closed-form solution 闭合解

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什么是Closed-form solution？闭合解

 

最近看论文，讨论微分方程解时遇到closed-form solution概念，上网检索，找到一个较浅显易懂的解释如下。

与工学院所学的微分方程不同的是，工学院的学生一般都是学如何把特定的微分方程的解用基本函数（例如多项式、三角函数、对数指数函数等等）及特殊函数给表达出来（所谓的 closed form solution）。然而，在一般的情况下，要找 closed form solution 是极其困难甚至是不可能的。所以从数学的眼光来看，第一步往往是问微分方程的解是否存在（存在是表示知道有函数会满足微分方程，但是不见得是 closed form solution 或是其它写得出来的样子，而只是就知道有解，玄吧？），若能证明解的存在性，那么下一个问题便是：解是否唯一（在很多情况下，解可能会是两个以上，此时就会衍生一个问题：哪个解比较合乎自然现象的结果）。这两个问题虽然看来非常像是哲学的问题（例如物理学家一定觉得明明自然的现象每天都在进行，而那些方程都是在描述自然的现象，解怎么可能不存在？或是哲学家问上帝存不存在、唯不唯一的问题，记得，就算证明了存在，还是看不到，这跟数学很像），但是往往研究这两件事的过程中会让人对所研究的微分方程有更多的了解，所以从某个角度而言数学的研究有其必要。而再往另一个更实际的方面来说，能写出 closed form solution 的微分方程，往往不一定能马上从解看出原方程所描述的现象。例如抛物型方程常常扮随有扩散的效应，也就是说所关心的物理量（例如浓度、温度）会由量高的地方往量低处流动；而双曲型方程却常是满足守恒律，也就是说若某物理量在某一时间点的最大值是这么大，那么这个值永远这么大不会「扩散」掉。这种现象上的分野是很难直接从方程的解本身看出来的，所以我想用一句很贴切的话来说明解在微分方程中的地位：叫做见树不见林里面的「树」（而林则是指微分方程所描写的现象本身）。数学的研究方法，即在从方程的本身（而非从树），去推敲林的长相。

然而，解的本身仍然是对了解微分方程所描述的自然现象，相当不可或缺的一部份。诚如前面所谈到的，要求解往往是极为困难的工作，所以数值方法的发展在某种程度上弥补了这个空隙。