为什么“总体方差 ≠ 偏样本方差”?

为什么“总体方差 ≠ 偏样本方差”?

Ciallo~(∠・ω< )⌒★ 我是赤川鹤鸣!这一次是在推导强化学习公式的时候遇到的一个式子的转换,由此延伸出了总体方差和偏样本方差的区别.

已知样本均值 x¯=1ni=1nxi,偏样本方差 σx2=1ni=1n(xix¯)2,总体方差 s2=1ni=1n(xiμ)2

试证明

s2=σx2+(x¯μ)2


原式可化为

(1)1ni=1n(xiμ)2=1ni=1n(xix¯)2+(x¯μ)2

两侧同时乘 n,得

(2)i=1n(xiμ)2=i=1n(xix¯)2+n(x¯μ)2

(3)A=i=1n(xiμ)2i=1n(xix¯)2n(x¯μ)2

只需要证明 A=0 即可.

(3) 中的乘方打开,得

(4)A=i=1nxi22μi=1nxi+nμ2i=1nxi2+2x¯i=1nxinx¯2n(x¯μ)2

(4) 中的 i=1nxi2 抵消,得

(5)A=2μi=1nxi+nμ2+2x¯i=1nxinx¯2n(x¯μ)2

(5) 中的乘方进一步打开,合并同类项,得

(6)A=2μi=1nxi+nμ2+2x¯i=1nxinx¯2nx¯2+2nx¯μnμ2=2μi=1nxi+nμ2+2x¯i=1nxi2nx¯2+2nx¯μnμ2=2μi=1nxi+2x¯i=1nxi2nx¯2+2nx¯μ

又因为 x¯=1ni=1nxi,所以代入式子 (6)

(7)A=2nμx¯+2nx¯22nx¯2+2nx¯μ=2nμx¯+2nx¯μ=0

证明完毕.

这说明通常情况下,总体方差不等于偏样本方差,它们之间的误差是 (x¯μ)2.

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