球坐标下的 Laplace 算子推导
球坐标下的 Laplace 算子推导
Ciallo~(∠・ω< )⌒★ 我是赤川鹤鸣!在学习球谐函数的时候,第一次听说球坐标下的 Laplace 算子这一概念. 在查阅了一些资料后,现在整理出球坐标下拉普拉斯算子的推导公式.
1. 球坐标
我们非常熟悉的坐标系是初中时学习过的具有
如果想定义球坐标,在我们熟悉的这个空间直角坐标系中建立定义是最简便的.
在空间直角坐标系中存在某一点
名称 | 符号 | 定义 | 约束 |
---|---|---|---|
位矢(position vector) | 坐标原点 |
- | |
位矢的模 | 位矢 |
||
极角(polar angle) | 位矢 |
||
方位角(azimuthal angle) |
因此,点
当然,我们可以把球坐标系中的坐标转化到空间直角坐标系中的坐标.
根据图中角与向量的关系,我们可以得到位矢在空间直角坐标系中的分量
其中,
因此,单位位矢
那么引入常量
2. 拉梅系数
球坐标系虽然定义在空间坐标系中,但是空间坐标系的
如果我们按照三个维度等分整个空间坐标系会发生什么?比如说,我们按照
然而在球坐标系中,两个带角度的维度的稍稍变化会在球面上划出一个曲面,而稍稍拉长一下位矢,但不改变位矢的方向,就会让这个曲面向外微微膨胀,但这个小块不是一个正方体,而是像一个稍稍掰弯的六面体.
可见,球坐标系看起来不太寻常!空间坐标系看起来是“均匀”的,但球坐标系是“不均匀”的.
请观察我绘制的这个小块的图像. 在空间坐标系下,假设点

我们知道球坐标系和平面坐标系存在着差异,因此它们的微元弧长也存在某种关系.
以
如果在
其中
我们通常希望用一个单位基向量来表示切矢,那么就有
其中
实际上,拉梅系数表示了在这个单位基上微元的“边长”. 特别地,空间直角坐标系的拉梅系数为
3. 正交曲线坐标系
对球坐标系中的位矢
将式代入得
观察式子里的这三项
计算其模长发现
且
因此可知,
若对空间中任意一点,式中的三个矢量都两两正交,那么这个曲线坐标系就是正交曲线坐标系(orthogonal curvilinear coordinate system). 球坐标系、柱坐标系、抛物线坐标系和椭圆坐标系,乃至直角坐标系都是一种曲线坐标系.
因此式可化为
易知拉梅系数分别为
4. 梯度与 Nabla 算子
我们在正交曲线坐标系中定义梯度
注意,正是因为在正交曲线坐标系中,我们才带上了拉梅系数,回想起空间直角坐标系中我们的拉梅系数均为
因此,根据式求出的拉梅系数,球坐标上对函数
其中,
5. 散度与 Laplace 算子
我们在正交曲线坐标系中定义散度
注意
因此,根据式求出的拉梅系数,球坐标上对函数
整理上式,得
注意求偏导的时候,与其无关的变量都可以视为常数提出. 当然,你可以把括号里的每一项都求偏导打开,但是这样整个式子会非常长且不优雅.
其中,
现在我们求出了球坐标系下的 Laplace 算子,下一期我们来推导球坐标系中 Laplace 方程的通解,从而得到球谐函数的表达式.
【参考资料/文献】
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