球坐标下的 Laplace 算子推导

球坐标下的 Laplace 算子推导

Ciallo~(∠・ω< )⌒★ 我是赤川鹤鸣!在学习球谐函数的时候,第一次听说球坐标下的 Laplace 算子这一概念. 在查阅了一些资料后,现在整理出球坐标下拉普拉斯算子的推导公式.

1. 球坐标

我们非常熟悉的坐标系是初中时学习过的具有 2 个维度 xy 的平面直角坐标系. 然后在高中,我们将平面直角坐标系拓展到了具有 3 个维度的空间直角坐标系,下图(引用自球坐标系 - 小时百科)就是用 xyz 三个互相垂直的维度表示的空间直角坐标系.

./img/球坐标系.svg

如果想定义球坐标,在我们熟悉的这个空间直角坐标系中建立定义是最简便的.

在空间直角坐标系中存在某一点 P,那么

名称 符号 定义 约束
位矢(position vector) r 坐标原点O(球心)到点 P 的向量 OP. -
位矢的模 r 位矢r 的模长,即点 P 与坐标原点 O 的距离. r0
极角(polar angle) θ 位矢rz 轴的夹角. θ[0,π]
方位角(azimuthal angle) ϕ rxOy 平面上的投影与 x 轴的夹角. ϕ[0, 2π)(π, π]

因此,点 P 可以用 (r, θ, ϕ)3 个有序实数来表示,称为该点的球坐标(spherical coordinates).

当然,我们可以把球坐标系中的坐标转化到空间直角坐标系中的坐标.

根据图中角与向量的关系,我们可以得到位矢在空间直角坐标系中的分量

x=sinθcosϕx^

y=sinθsinϕy^

z=cosθz^

其中,x^=(1, 0, 0)Ty^=(0, 1, 0)Tz^=(0, 0, 1)T,它们是空间直角坐标系中的一组单位基.

因此,单位位矢 r^ 可以表达为

r^=x+y+z

那么引入常量 r,位矢就可以表达为

r=rr^

2. 拉梅系数

球坐标系虽然定义在空间坐标系中,但是空间坐标系的 xyz 在三个方向上都可以分别从负无穷取到正无穷;然而,在球坐标系中,r 必须大于或等于 0θϕ 的定义域也都有自己的限制,从这个角度上说,它们都没法取到实数域上的每一个值.

如果我们按照三个维度等分整个空间坐标系会发生什么?比如说,我们按照 0.01 为边长,把整个空间坐标系按 xyz 三个维度切割后,就会得到很多很多边长为 0.01 的完全相同的小块.

然而在球坐标系中,两个带角度的维度的稍稍变化会在球面上划出一个曲面,而稍稍拉长一下位矢,但不改变位矢的方向,就会让这个曲面向外微微膨胀,但这个小块不是一个正方体,而是像一个稍稍掰弯的六面体.

可见,球坐标系看起来不太寻常!空间坐标系看起来是“均匀”的,但球坐标系是“不均匀”的.

请观察我绘制的这个小块的图像. 在空间坐标系下,假设点 P 产生了 (dx, dy, dz) 的位移,那么沿着这三个维度的形成了一个边长(弧长)分别为 dlx,dly,dlz 的六面体,称为微元.

./img/微元.jpg

我们知道球坐标系和平面坐标系存在着差异,因此它们的微元弧长也存在某种关系.

ui 这个基(轴)为例,弧长 dli 满足下式

dli=Hidui

如果在 n 个基上定义了位矢 r=(u1,u2,,un)T ,那么就有

dr=i=1nruidui

其中 rui 称为切矢.

我们通常希望用一个单位基向量来表示切矢,那么就有

rui=Hiu^i

其中 u^i 是单位基向量,Hi 称为拉梅系数.

实际上,拉梅系数表示了在这个单位基上微元的“边长”. 特别地,空间直角坐标系的拉梅系数为 Hx=Hy=Hz=1,这也解释了它的“均匀性”.

3. 正交曲线坐标系

对球坐标系中的位矢 r 求微分

dr=rrdr+rθdθ+rϕdϕ

将式代入得

dr=(x+y+z)dr+r(cosθcosϕx^+cosθsinϕy^sinθz^)dθ+rsinθ(sinϕx^+cosϕy^)dϕ

观察式子里的这三项

r^=x+y+z

θ^=cosθcosϕx^+cosθsinϕy^sinθz^

ϕ^=sinϕx^+cosϕy^

计算其模长发现

|r^|=sin2θcos2ϕ+sin2θsin2ϕ+cos2θ=sin2θ(cos2ϕ+sin2ϕ)+cos2θ=sin2θ+cos2θ=1

|θ^|=cos2θcos2ϕ+cos2θsin2ϕ+sin2θ=cos2θ(cos2ϕ+sin2ϕ)+sin2θ=cos2θ+sin2θ=1

|ϕ^|=sin2θ+cos2θ=1

r^θ^=sinθcosθcos2ϕ+sinθcosθsin2ϕsinθcosθ=sinθcosθ(sin2θ+cos2θ)sinθcosθ=sinθcosθsinθcosθ=0

r^ϕ^=sinθsinϕcosϕ+sinθsinϕcosϕ=0

r^ϕ^=cosθcosϕsinϕ+cosθsinϕcosϕ=0

因此可知,r^θ^ϕ^ 是单位正交向量.

若对空间中任意一点,式中的三个矢量都两两正交,那么这个曲线坐标系就是正交曲线坐标系(orthogonal curvilinear coordinate system). 球坐标系、柱坐标系、抛物线坐标系和椭圆坐标系,乃至直角坐标系都是一种曲线坐标系.

因此式可化为

dr=r^dr+rθ^dθ+rsinθϕ^dϕ

易知拉梅系数分别为 H1=1H2=rH2=rsinθ.

4. 梯度与 Nabla 算子

我们在正交曲线坐标系中定义梯度

u=1H1uu1+1H2uu2+1H3uu3

注意,正是因为在正交曲线坐标系中,我们才带上了拉梅系数,回想起空间直角坐标系中我们的拉梅系数均为 1.

因此,根据式求出的拉梅系数,球坐标上对函数 u 的梯度为

u=ur+1ruθ+1rsinθuϕ

其中,Nabla 算子

=r+1rθ+1rsinθϕ

5. 散度与 Laplace 算子

我们在正交曲线坐标系中定义散度

Δu=1H1H2H3[u1(H2H3H1uu1)+u2(H1H3H2uu2)+u3(H1H2H3uu3)]

注意 H1H2H3 相当于微元体的体积,且拉梅系数 Hi 不一定是常数.

因此,根据式求出的拉梅系数,球坐标上对函数 u 的散度为

Δu=1r2sinθ[r(r2sinθur)+θ(sinθuθ)+ϕ(1sinθuϕ)]

整理上式,得

Δu=1r2r(r2ur)+1r2sinθθ(sinθuθ)+1r2sin2θ2uϕ2

注意求偏导的时候,与其无关的变量都可以视为常数提出. 当然,你可以把括号里的每一项都求偏导打开,但是这样整个式子会非常长且不优雅.

其中,ΔLaplace 算子,也可以写作是 2,即

Δ=2=1r2r(r2r)+1r2sinθθ(sinθθ)+1r2sin2θ2ϕ2

现在我们求出了球坐标系下的 Laplace 算子,下一期我们来推导球坐标系中 Laplace 方程的通解,从而得到球谐函数的表达式.

【参考资料/文献】

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