神经辐射场 NeRF 相关公式推导
神经辐射场 NeRF 相关公式推导
Ciallo~(∠・ω< )⌒★ 我是赤川鹤鸣!
学习了 NeRF: Representing Scenes as Neural Radiance Fields for View Synthesis 这篇论文后, 看到里面的一些公式, 思考着它们是怎么来的, 同时查询了很多资料和博客, 现在将它们的推导汇总起来.
论文中的相关概念
体积密度
相机光线
函数
累计通透率 的公式推导
光线从
不妨反过来思考, 光线在位置
思考概率密度函数和累计概率函数的差别, 我们这里类似于计算的是
.
在一个极小的
思考概率密度函数和累计概率函数的差别, 我们这里类似于计算的是
.
因此得到
注意要用 1 减去, 因为我们要的是不碰撞的那一部分.
回想起导数的定义, 不妨求解 T(t) 的导数,
整理等式两侧
积分
回想起
两侧取指数, 则上式化为
令
期望颜色 的推导
我们可以直观地想象这个情景, 例如你在一个雾蒙蒙的天气看见一颗红色的苹果, 此时
就是在说来自苹果光线有多大的通透率(穿越迷雾)传到你的眼睛里. 说明了苹果表面上的某一个粒子有多大概率是正好是终结光线(光线不能穿透苹果本体)的那个粒子.
这个公式源自 Optical Models for Direct Volume Rendering.
黎曼和、定积分
离散化这个积分之前, 我们先要了解什么是黎曼和、定积分.
黎曼和
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设函数
这些分点的集合
划分
它们的长度依次为

在每个子区间
称为函数
定积分

设函数
实际上,
就是你所划分的那些块中最大长度的那块, 目的是令最大的那块趋近于无穷小.
如果下述极限存在
则称被积函数
期望颜色 的积分离散化
下图是我自己做的, 有 svg 非位图版本, 若有需要请邮箱联系.
结合论文的内容, 以及上图, 积分区间为
这样第
注意到,
视为常数, 由多层感知机给出结果.
然而
进一步为什么不能将它近似视为
?
可视为二元函数, 对它积分就类比于求体积, 而 是一元函数, 对它积分类比于求面积, 我们不能把体积视为面积, 因为它们具有不同的维度.
因此, 代入并将常量提到积分号之前
将嵌套的积分拆开得
不难发现,
而区间
代入得
记第
将每个区间的
即
完毕.
【文献/资料引用】
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