[cf140E]New Year Garland

Description

用\(m\)种颜色的彩球装点\(n\)层的圣诞树。圣诞树的第\(i\)层恰由\(l[i]\)个彩球串成一行，且同一层内的相邻彩球颜色不同，同时相邻两层所使用彩球的颜色集合不同。

求有多少种装点方案，答案对\(p\)取模。

只要任一位置上的彩球颜色不同，就算作不同的方案。

Input

第一行三个整数\(n,m,p\)，表示圣诞树的层数、彩球的颜色数和取模的数。

接下来一行包含\(n\)个整数，表示\(l[i]\)。

Output

一个整数表示答案。

Sample Input

3 2 1000
3 1 2

Sample Output

8

HINT

\(1\;\leq\;n,m\;\leq\;10^6,2\;\leq\;p\;\leq\;10^9,1\;\leq\;l[i]\;\leq\;5000,\sum\;l[i]\;\leq\;10^7\)

Solution

先考虑单行的情况,\(f[i][j]\)表示前\(i\)个位置用了\(j\)种颜色的方案.

\(f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]\;\times\;(j-1)\)

\(g[i][j]\)表示第\(i\)行有\(j\)种颜色的方案数.

\(g[i][j]=f[l[i]][j]\;\times\;(\sum\;g[i-1][k]\;\times\;P_{m}^{j}-g[i-1][j]\;\times\;P_{j}^{j})\).

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define M 5005
#define N 1000005
using namespace std;
typedef long long ll;
int l[N],n,m;
ll f[M][M],g[2][M],fa[M],fac[M],p,sum;
inline int read(){
    int ret=0;char fa=getchar();
    while(!isdigit(fa))
        fa=getchar();
    while(isdigit(fa)){
        ret=(ret<<1)+(ret<<3)+fa-'0';
        fa=getchar();
    }
    return ret;
}
inline void Aireen(){
    n=read();m=read();p=(ll)(read());
    for(int i=1;i<=n;++i)
        l[i]=read();
    fa[0]=fac[0]=1ll;
    for(int i=1,j=m;i<M&&j;++i,--j){
        fa[i]=fa[i-1]*(ll)(i)%p;
        fac[i]=fac[i-1]*(ll)(j)%p;
    }
    //长度为i的情况 
    f[0][0]=1ll;
    for(int i=1;i<M;++i)
        for(int j=min(m,i);j;--j)
            f[i][j]=(f[i-1][j-1]+f[i-1][j]*(ll)(j-1)%p)%p;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=l[i+1];++j)
            g[i&1][j]=0ll;
        if(i==1){
            for(int j=min(l[i],m);j;--j)
                g[i][j]=fac[j]*f[l[i]][j]%p;
        }
        else{
            sum=0ll;
            for(int j=min(l[i-1],m);j;--j)
                sum=(sum+g[i&1^1][j])%p;
            for(int j=min(l[i],m);j;--j){
                g[i&1][j]=(fac[j]*sum%p-fa[j]*g[i&1^1][j]%p+p)%p*f[l[i]][j]%p;
            }
        }
    }
    sum=0ll;
    for(int j=min(l[n],m);j;--j)
        sum=(sum+g[n&1][j])%p;
    printf("%I64d\n",sum);
}
int main(){
    freopen("christmas.in","r",stdin);
    freopen("christmas.out","w",stdout);
    Aireen();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}