[bzoj1670][Usaco2006 Oct]Building the Moat

Description

为了防止口渴的食蚁兽进入他的农场，\(Farmer John\)决定在他的农场周围挖一条护城河。农场里一共有\(N\)股泉水，并且，护城河总是笔直地连接在河道上的相邻的两股泉水。护城河必须能保护所有的泉水，也就是说，能包围所有的泉水。泉水一定在护城河的内部，或者恰好在河道上。当然，护城河构成一个封闭的环。 挖护城河是一项昂贵的工程，于是，节约的\(FJ\)希望护城河的总长度尽量小。请你写个程序计算一下，在满足需求的条件下，护城河的总长最小是多少。

所有泉水的坐标都在范围为\((1..10^7,1..10^7)\)的整点上，一股泉水对应着一个唯一确定的坐标。并且，任意三股泉水都不在一条直线上。

以下是一幅包含\(20\)股泉水的地图，泉水用\("*"\)表示。

图中的直线，为护城河的最优挖掘方案，即能围住所有泉水的最短路线。

路线从左上角起，经过泉水的坐标依次是：\((18,0)\),\((6,-6)\),\((0,-5)\),\((-3,-3)\),\((-17,0)\),\((-7,7)\),\((0,4)\),\((3,3)\)。绕行一周的路径总长为\(70.8700576850888...\)。答案只需要保留两位小数，于是输出是\(70.87\)。

Input

第\(1\)行:一个整数\(N\)。

第\(2\)~\(N+1\)行:每行包含\(2\)个用空格隔开的整数，\(x[i],y[i]\)，即第\(i\)股泉水的位置坐标。

Output

一行一个数字，表示满足条件的护城河的最短长度。保留两位小数。

Sample Input

20 
2 10 
3 7 
22 15 
12 11 
20 3 
28 9 
1 12 
9 3 
14 14 
25 6 
8 1 
25 1 
28 4 
24 12 
4 15 
13 5 
26 5 
21 11 
24 4 
1 8

Sample Output

70.87

HINT

\(8\;\leq\;N\;\leq\;5000\).

Solution

求凸包周长.

#include<set> 
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 5005
#define eps 1e-11
using namespace std;
struct point{
    int x,y;double t;
}a[N],v[N];
int n,u,vn;
inline double sqr(int k){
    return (double)(k*k);
}
inline point dec(point x,point y){
    return (point){x.x-y.x,x.y-y.y,0.0};
}
inline int mult(point x,point y){
    return x.x*y.y-y.x*x.y;
}
inline double dis(point x,point y){
    return sqrt(sqr(abs(x.x-y.x))+sqr(abs(x.y-y.y)));
}
inline bool cmp(point x,point y){
    if(fabs(x.t-y.t)<eps)
        return dis(x,a[1])>dis(y,a[1]); 
    return x.t<y.t;
} 
inline void convex(){
    u=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if((a[i].x<a[u].x)||(a[i].x==a[u].x&&a[i].y<a[u].y)) u=i;
    a[0]=a[u];a[u]=a[1];a[1]=a[0];
    for(int i=2;i<=n;i++)
        a[i].t=atan2(a[i].y-a[1].y,a[i].x-a[1].x);
    sort(a+2,a+1+n,cmp);
    v[++vn]=a[1];v[++vn]=a[2];a[++n]=a[1];
    for(int i=3;i<=n;i++){
        if(fabs(a[i].t-a[i-1].t)<eps)
            continue;
        while(vn>1&&mult(dec(a[i],v[vn-1]),dec(v[vn],v[vn-1]))>0) vn--;
        v[++vn]=a[i];
    }
}
inline double cir(){
    double ret=0;
    for(int i=2;i<=vn;i++)
        ret+=dis(v[i],v[i-1]);
    return ret;
} 
inline void init(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
    convex();
    printf("%.2lf\n",cir()); 
}
int main(){
    freopen("convex.in","r",stdin);
    freopen("convex.out","w",stdout);
    init();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}