[学习笔记]Nim游戏&SG函数
SG函数
定义
- P-position(Previous): 当前选手的必败态
- N-position(Next): 当前选手的必胜态
状态转移方式
- 无路可走时是P-position
- 如果存在能让游戏状态变成P-position的走法，则当前状态为N-position
- 如果所有能到达的游戏状态都是N-position，则当前状态为P-position
性质
由状态转移方式推得
- 所有terminal position为P-position
- N-position的游戏状态一定可以转移到某个P-position
- P-position的游戏状态不可能转移到别的P-position
只要满足上面三条性质，则游戏状态合法.
应用
-
mex运算: 表示最小的不属于这个集合的非负整数
-
对游戏状态建DAG
-
SG函数f(x)=mex{f(y)|x->y\(\in\)DAG}
假设f(x)=0为必败态(P-position)，反之为必胜态(N-position)- 所有terminal position无出边，f(x)=0
- f(x) \(\neq\) 0时，存在一条出边指向的y满足f(y) \(=\) 0
- f(x) \(=\) 0时，所有出边指向的y满足f(y) \(\neq\) 0
满足三条性质
Nim游戏及其变体
Nim Game
n堆石子, 两个人轮流操作, 每次可从任意一堆中取出任意多>0的石子, 无法操作者输.
- 结论：P-position为所有石子数的异或和=0.
- 证明：
-
terminal position，即石子数都为0，为P-position.
-
若当前为N-position，即异或和k（设最高位为x）不为0，则必存在石子数\(a_i\)的位x为1，满足\(a_i\;xor\;k<a_i\).
取\(a_i-a_i\;xor\;k\)即可.\(\begin{aligned}&a_1\;xor\;a_2\;xor...xor\;(a_i\;xor\;k)\;xor...xor\;a_n\\=&a_1\;xor\;a_2\;xor...xor\;a_i\;xor...xor\;a_n\;xor\;k\\=&k\;xor\;k\\=&0\end{aligned}\)
转移到了某个P-position.
-
若当前为P-position，即异或和为0，则无论怎么取，取后异或和必不为0，即不可能转移到别的P-position.
Nimk Game
n堆石子, 两个人轮流操作, 每次可从任意\(\small{\leq}\)k堆中取出任意多>0的石子, 无法操作者输.
- 结论：P-position为在二进制下，每一位上的1的个数和mod (k+1)都为0.
- 证明：
- terminal position，即石子数都为0，为P-position.
- 若当前为N-position，即存在某一位上的1的个数和mod (k+1)不为0，从高位往低位确定每堆石子取的个数.
假设已经使前i-1上的1的个数和mod (k+1)=0，现在考虑第i位.
对于已经改变的m堆，当前位可以自由选择变与不变（不会增加取的堆数）.
记n为除已经改变的m堆外，当前位为1的堆数mod (k+1)的值.
若n+m\(\leq\)k，则直接全取这n+m堆这一位的1，m=n+m. 此时转移到了某个P-position.
否则，n+m>k即n+m\(\geq\)k+1，此时n\(\geq\)k+1-m，在这m堆中，留k+1-n堆这一位的1，其余1全取走. 此时转移到了某个P-position. - 若当前为P-position，即每一位上的1的个数和mod (k+1)都为0，则无论怎么取，取后必存在某一位上的1的个数和mod (k+1)不为0，即不可能转移到别的P-position.
Bash Game
n堆石子,两个人轮流操作,每次可从任意一堆中取出[1,m]个石子,无法操作者输.
-
结论：P-position为所有石子数\(mod\;(m+1)\)后的异或和=0.
-
证明：
-
terminal position，即石子数都为0，为P-position.
-
若当前为N-position，即异或和k（设最高位为x）不为0，则必存在石子数\(a_i\;mod\;(m+1)\)的位x为1，满足\(a_i\;mod\;(m+1)\;xor\;k<a_i\).
取\(a_i-a_i\;mod\;(m+1)\;xor\;k\)即可.\(\begin{aligned}&(a_1\;mod\;(m+1))\;xor...xor\;(a_i\;mod\;(m+1)\;xor\;k)\;xor...xor\;(a_n\;mod\;(m+1))\\=&(a_1\;mod\;(m+1))\;xor...xor\;(a_i\;mod\;(m+1))\;xor...xor\;(a_n\;mod\;(m+1))\;xor\;k\\=&k\;xor\;k\\=&0\end{aligned}\)
转移到了某个P-position.
-
若当前为P-position，即异或和为0，则无论怎么取，取后异或和必不为0，即不可能转移到别的P-position.
Staircase Nim
n阶台阶, 每次可以从一个台阶上拿掉任意数量石子放到下一层台阶, 无法操作者输（第1级可以往地面上放）.
- 结论：P-position为所有奇数级的石子数的异或和=0.
- 证明：
- terminal position，即所有石子都在第0级，奇数级石子数异或和为0，为P-position.
- 若当前为N-position，即若当前奇数级异或和不为0，则必存在奇数级石子数\(a_i\)的位x为1，满足\(a_i\;xor\;k<a_i\). 取\(a_i-a_i\;xor\;k\)即可转移到某个P-position.
- 若当前为P-position，即若当前奇数级异或和为0，则移奇数级到偶数级后，奇数级异或和不为0，即不可能转移到别的P-position.
Anti Nim
n堆石子, 两个人轮流操作, 每次可从任意一堆中取出任意多>0的石子, 取走最后一颗石子的人输.
- 结论：N-Position为以下两种情况之一：
- 所有堆石子数都为1且堆数为偶数
- 存在某堆石子数大于1且石子堆的异或和≠0
- 证明 :
- terminal position，即只剩一个石子数为1的堆，为P-position.
- 若当前为N-position，
- 若所有堆石子数都为1且堆数为偶数，任取一堆即可转移到某个P-position.
- 若存在某堆石子数大于1且石子堆的异或和≠0，参考Nim Game，可转移到某个P-position.
- 若当前为P-position，
- 若所有堆石子数都为1且堆数为奇数，无论取哪堆都会转移到某个N-position，即不可能转移到别的P-position.
- 若存在某堆石子数大于1且石子堆的异或和=0，由异或和=0得至少存在两堆得石子数>1. 无论取哪堆都会使石子堆的异或和≠0（转移到某个N-position），即不可能转移到别的P-position.
2017-10-25 20:40:09
