[学习笔记]概率&期望
概率的性质
- 非负性:对于每一个事件\(A,0\;\leq\;P(A)\;\leq\;1\).
- 规范性:对于必然事件\(S,P(S)=1\);对于不可能事件\(A,P(A)=0\).
- 容斥性:对于任意两个事件\(A,B,P(A\;\cup\;B)=P(A)+P(B)-P(A\;\cap\;B)\).
- 互斥事件的可加性:设\(A_1,A_2,...A_n\)是互斥的\(n\)个事件,则\(P(A_1\;\cup\;A2\;\cup\;...\;\cup\;A_n)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)\).如果\(A,B\)互为对立事件,则事件\(A,B\)一定是互斥的,而\(A\;\cup\;B\)为必然事件,所以,\(P(A\;\cup\;B)=P(A)+P(B)=1\),即对立事件概率之和为\(1\).
- 独立事件的可乘性:如果事件\(A\)是否发生对事件\(B\)发生的概率没有影响,同时事件\(B\)是否发生对事件\(A\)发生的概率也没有影响,则称\(A,B\)是相互独立的事件.有\(P(A\;\cap\;B)=P(A)\;\times\;P(B)\),即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.推广到\(n\)个相互独立的事件,则:\(P(A_1\;\cap\;A_2\;\cap\;...\;\cap\;A_n)=P(A_1)\;\times\;P(A_2)\;\times\dots\times\;P(A_n)\).
- 独立重复试验的"伯努利大数定理":如果在一次试验中某事件发生的概率为\(p\),不发生的概率为\(q\),则在\(n\)次试验中该事件至少发生\(m\)次的概率等于\((p+q)^n\)的展开式中从\(p^n\)到包括\(p^mq^{n-m}\)为止的各项之和.如果在一次试验中某事件发生的概率为\(p\),那么在\(n\)次独立重复试验中这个事件恰好发生\(k\)次\((0\)\(\leq\)\(k\)\(\leq\)\(n)\)的概率为:\(C_n^k\)\(\times\)\(p^k\)\(\times\)\((1-p)^{n-k}\).
期望的性质
- 期望的线性性:对于任意随机变量\(X,Y\)以及常量\(a,b\),有:\(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\).当两个随机变量\(X,Y\)独立且各自都有一个已定义的期望时,有:\(E(XY)=E(X)E(Y)\).
- 期望的和等于和的期望.
例题
取球
有\(r\)个红球,\(b\)个蓝球在一个袋子中.两个玩家轮流从袋子中取球,每个人每次可以取\(1-n\)个球,但在他把球拿出袋子之前,他并不知道所取球的颜色.每次球被取出袋子后,它们的颜色被公布给所有人.取走最后一个红球的人输.
在两个玩家都采取最优策略时,先手的胜率是多少?
\(1\;\leq\;r,b\;\leq\;100,1\;\leq\;n\;\leq\;10\).
\(f[r][b]\)表示还剩\(r\)个红球和\(b\)个蓝球时的胜率.
\(f[r][b]=max\{\sum_{j=1}^{min(r-1,i)}(\frac{C_r^j\;\times\;C_b^{i-j}}{C_{r+b}^i}\;\times\;(1-f[r-j][b-i+j]))\}(i\in[1,n])\)
(取\(i\)个球,有可能为\(j\)个红球,\(i-j\)个蓝球,红球不能全取光).
取球II
有\(r\)个红球,\(b\)个蓝球在一个袋子中.两个玩家轮流从袋子中取球,每个人每次可以取\(1-n\)个球,但在他把球拿出袋子之前,他并不知道所取球的颜色.每次球被取出袋子后,它们的颜色被公布给所有人.取走最后一个红球的人输.
现在已知有人在游戏开始前取走了\(m\)个球,并且谁也不知道球的颜色.
在两个玩家都采取最优策略时，先手的胜率是多少？
\(1\;\leq\;r,b\;\leq\;100,1\;\leq\;n\;\leq\;10,0\;\leq\;m\;\leq\;r-1\).
首先,先取\(i\)个球,再取\(j\)个球和先取\(j\)个球,再取\(i\)个球所对应的的剩余情况的概率分布是一样的.
\(g[r][b][m]\)表示在\(r\)个红球和\(b\)个蓝球中取走\(m\)个球后还剩下红球的概率.
\(g[r][b][m]=\frac{r}{r+b}\;\times\;g[r-1][b][m-1]+\frac{b}{r+b}\;\times\;g[r][b-1][m-1]\).
\(f[r][b]\)表示剩余\(r\)个红球,\(b\)个蓝球,其中取走了\(m\)个未知的球的胜率.
\({f[r][b]=max\{\sum_{j=1}^{min(r-1,i)}(\frac{C_r^j\;\times\;C_b^{i-j}}{C_{r+b}^i}\;\times\;(1-f[r-j][b-i+j])\;\times\;\frac{1-g[r-j][b-i+j][m]}{g[r][b][m]})\}(i\in[1,n])}\).
取球III
有\(n\)种颜色的球,第\(i\)种初始有\(a_i\)个.每一轮等概率随机取出一个球,放回相同颜色的\(k\)个球.
给定\(m\)组\(x_i,y_i\),你需要求出同时满足第\(x_i\)轮取出的球颜色为\(y_i\)的概率.
\(n,m\;\leq\;10^5,a_i\;\leq\;10^4\).
每轮增加的球数是固定的,所以第\(i\)轮时,总球数是固定的,因此取到颜色\(j\)的概率是颜色\(j\)的数量/总球数,那么只需求第\(i\)轮颜色\(j\)的期望数量.
\(f[i][j]=f[i-1][j]+\frac{f[i-1][j]}{sum[i-1]}\;\times\;(k-1)=f[i-1][j]\;\times\;(1+\frac{k-1}{sum[i-1]})\).
容易发现若干轮后所有球的期望数量的比例不变,因此\(m\)轮之外的取球是没有意义的.
