[网络流24题]方格取数问题

Description

在一个有$m\;\times\;n$个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数，使任意$2$个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。

Input

第$1$行有$2$个正整数$m,n$，分别表示棋盘的行数和列数。

接下来的$m$行，每行有$n$个正整数，表示棋盘方格中的数。

Output

一行一个整数,表示取数的最大总和.

Sample Input

3 3
1 2 3
3 2 3
2 3 1

Sample Output

11

HINT

$n,m<50$.

Solution

将棋盘黑白染色,使相邻格子颜色不同,黑色格子为集合$x$中的点,白色格子为集合$y$中的点.

从$s$向$x_i$连一条容量为格子中数值的有向边.

从$x_i$向$y_j$连一条容量为$+\infty$的有向边($x_i,y_j$有公共边).

从$y_i$向$t$连一条容量为格子中数值的有向边.

求最大点权独立集.

最大点权独立集=总点权-最小点权覆盖=总点权-最小割=总点权-最大流。

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define M 4
#define N 50
using namespace std;
struct graph{
    int nxt,to,f;
}e[N*N];
int a[N][N],b[N][N],g[N*N],dep[N*N],n,m,s,t,cnt,sum;
int x[M]={0,0,-1,1},y[M]={-1,1,0,0};
queue<int> q;
inline void addedge(int x,int y,int f){
    e[++cnt].nxt=g[x];g[x]=cnt;e[cnt].to=y;e[cnt].f=f;
}
inline void adde(int x,int y,int f){
    addedge(x,y,f);addedge(y,x,0);
}
inline bool bfs(int u){
    memset(dep,0,sizeof(dep));
    dep[u]=1;q.push(u);
    while(!q.empty()){
        u=q.front();q.pop();
        for(int i=g[u];i;i=e[i].nxt)
            if(e[i].f>0&&!dep[e[i].to]){
                q.push(e[i].to);
                dep[e[i].to]=dep[u]+1;
            }
    }
    return dep[t];
}
inline int dfs(int u,int f){
    int ret=0;
    if(u==t) return f;
    for(int i=g[u],d;i&&f;i=e[i].nxt)
        if(e[i].f>0&&dep[e[i].to]>dep[u]){
            d=dfs(e[i].to,min(f,e[i].f));
            e[i].f-=d;e[i^1].f+=d;ret+=d;f-=d;
        }
    return ret;
}
inline int dinic(){
    int ret=0;
    while(true){
        if(!bfs(s)) return ret;
        ret+=dfs(s,sum);
    }
}
inline void Aireen(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;++i)
        for(int j=0;j<m;++j){
            scanf("%d",&a[i][j]);
            sum+=a[i][j];b[i][j]=++cnt;
        }
    cnt=1;s=n*m+1;t=s+1;
    for(int i=0;i<n;++i)
        for(int j=i&1;j<m;j+=2){
            adde(s,b[i][j],a[i][j]);
            for(int k=0,u,v;k<M;++k){
                u=i+x[k];v=j+y[k];
                if(u>=0&&u<n&&v>=0&&v<m)
                    adde(b[i][j],b[u][v],sum);
            }
        }
    for(int i=0;i<n;++i)
        for(int j=i&1^1;j<m;j+=2)
            adde(b[i][j],t,a[i][j]);
    printf("%d\n",sum-dinic());
}
int main(){
    freopen("grid.in","r",stdin);
    freopen("grid.out","w",stdout);
    Aireen();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}