【数论】埃氏筛法

　　这学期的离散数学课程学了一点初等数论，其中的埃氏筛法当时课上没有太懂，课后看了《挑战程序设计竞赛》一书终于弄懂了。（这本书确实很好！算法简洁优美。）

　　如果只对一个整数进行素性测试，通常O(√n )的算法就足够了。但如果要对许多整数进行素性测试，则有更为高效的算法，其中就包括埃拉托斯特尼筛法，简称埃氏筛法。它是一个与辗转相除法一样古老的算法，可以用于枚举n以内的素数。

　　首先，我们将2到n范围内的所有整数写下来。其中最小的数字2是素数。将表中所有2的倍数都划去。表中剩余的最小数字是3，它不能被更小的数整除，所以是素数。再将表中所有3的倍数都划去。依此类推，如果表中剩余的最小数字是m时，m就是素数。然后将表中所有m的倍数都化去。像这样反复操作，就能依次枚举n以内的素数。

 

 

如图所示，最终我们就能得到20以内的所有素数。埃氏筛法的复杂度仅有O(nlognlogn)。对于程序设计竞赛中的数据规模，将它的复杂度看作大致线性的也无妨。下面给出代码： 

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

//埃氏筛法

const int MAX_N = 10005;
int prime[MAX_N];  //第i个素数
bool is_prime[MAX_N+1];  //is_prime[i]为true时表示i是素数

//返回n以内素数的个数
int sieve(int n){
    int p = 0;
    for(int i = 0; i <= n; i++) is_prime[i] = true;
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if(is_prime[i]){
            prime[p++] = i;
            for(int j = 2*i; j <= n; j+=i) is_prime[j] = false;  //筛去所有素数的倍数
        }
    }
    return p;
}


int main()
{
    int n;  //枚举n以内素数
    while(cin>>n){
       int p = sieve(n);
        cout<<p<<endl;
        for(int i = 0; i < p;i++)
            cout<< prime[i]<<" ";
        cout<<endl;
    }

    return 0;
}