区间dp①
打算一次写完,看情况吧。
少女祈祷中...
区间dp,大概是对区间的动态规划,每个大区间的决策都是由小区间的决策转移过来。
然后看道例题:石子合并 noi1995
设有 N 堆沙子排成一排,其编号为 1,2,3,…,N(N<=300)。每堆
沙子有一定的数量,可以用一个整数来描述,现在要将这 N 堆沙子合
并成为一堆,每次只能合并相邻的两堆,合并的代价为这两堆沙子的
数量之和,合并后与这两堆沙子相邻的沙子将和新堆相邻,合并时由
于选择的顺序不同,合并的总代价也不相同,如有 4 堆沙子分别为 1 3
5 2 我们可以先合并 1、2 堆,代价为 4,得到 4 5 2 又合并 1,2 堆,
代价为 9,得到 9 2 ,再合并得到 11,总代价为 4+9+11=24,如果第
二步是先合并 2,3 堆,则代价为 7,得到 4 7,最后一次合并代价为
11,总代价为 4+7+11=22;问题是:找出一种合理的方法,使总的代
价最小。输出最小代价。
有点像huffman树,但有一个限制条件,只能合并相邻的;所以可以考虑区间dp。
f[l][r] 表示编号l..r的沙子合并为一堆的最小代价
f[1][n] 最后一次合并的位置在k;什么意思,k是一个l,r之间的任意位置;
则f[l][r]=min(f[l][k]+f[k+1][r] + sum[l][r]); sum为l到r的代价,可预处理出来;
则可以写出代码;
少女祈祷中....
for(int l=2;l<=n;l++){ // 长度递增 for(int i=1;i<=n;i++){ int j=i+l-1; if(j>n) break; f[i][j]=inf;// inf 很大的数字 如0x3f3f3f3f for(int k=i;k<j;k++){ f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j]); } } }
那么问题来了,如果我不是排成一排,而是环怎么办?
假如有7堆,分别是abcdefg
我们可以依次枚举
abcdefg
bcdefga
cdefgab
defgabc
efgabcd
fgabcde
gabcdef
2^n;怕是要t
所以我们有一种常用的做法,扩大2倍,如下
abcdefgabcdefg
bcdefga
cdefgab
defgabc
efgabcd
fgabcde
gabcdef
然后分别枚举dp[1][n],dp[2][n+1].....找出最小
for(int l=2;l<=n;l++){// 长度递增 for(int i=1;i<=2*n;i++){ int j=i+l-1; if(j>2*n) break; f[i][j]=inf;// inf 很大的数字 如0x3f3f3f3f for(int k=i;k<j;k++){ f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j]); } } } int mn=inf; for(int i=1;i<=n;i++) mn=min(mn,f[i][i+n-1]);
然后一道变式题
能量项链
题目描述
在Mars星球上,每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子,这些标记对应着某个正整数。并且,对于相邻的两颗珠子,前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样,通过吸盘(吸盘是Mars人吸收能量的一种器官)的作用,这两颗珠子才能聚合成一颗珠子,同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m,尾标记为r,后一颗能量珠的头标记为r,尾标记为n,则聚合后释放的能量为m*r*n(Mars单位),新产生的珠子的头标记为m,尾标记为n。
需要时,Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子,通过聚合得到能量,直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然,不同的聚合顺序得到的总能量是不同的,请你设计一个聚合顺序,使一串项链释放出的总能量最大。
例如:设N=4,4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3) (3,5) (5,10) (10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作,(j⊕k)表示第j,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为:
(4⊕1)=10*2*3=60。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为
((4⊕1)⊕2)⊕3)=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。
输入输出格式
输入格式:
输入的第一行是一个正整数N(4≤N≤100),表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数,所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记(1≤i≤N),当i<N< span>时,第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序,你可以这样确定:将项链放到桌面上,不要出现交叉,随意指定第一颗珠子,然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。
输出格式:
输出只有一行,是一个正整数E(E≤2.1*10^9),为一个最优聚合顺序所释放的总能量。
很明显,一个环,所以可以用上面的方法,把链*2;
然后可以想出dp方程:dp[i][j]表示合并区间[i,j]内珠子所得到的最多能量
则dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i]*a[j+1]*a[k+1];
枚举k属于[i,j);a[i]*a[j+1]*a[k+1]就是左区间第一个珠子*总区间后面的一个珠子 *右区间第一个珠子(角标不明确手动模拟)
然后代码
#include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; int n; int a[300];int dp[300][300]; int ans2=0; int main() { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]); for(int i=1;i<=n;++i) a[i+n]=a[i]; for(int l=2;l<=n;++l) { for(int i=1;i<=2*n-l+1;++i) { int j=i+l-1; for(int k=i;k<j;++k) { dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i]*a[j+1]*a[k+1]); } } } for(int i=1;i<=n;++i) { ans=max(dp[i][i+n-1],ans); } printf("%d",ans); }
先写这么多吧