(工程)坐标转换类别和方法

目录

• 1. 绪论
• 2. 三参数法
• 3. 七参数法
  • 3.1 布尔莎模型
  • 3.2 代码实现
  • 3.3 大角度坐标系七参数计算
• 4. 四参数+高程拟合
  • 4.1 四参数
  • 4.2 高程拟合
  • 4.3 高程拟合方法
• 5. 一步法
• 6. 校正参数
• 7. 总结

1. 绪论

在上一篇文章中，讲到了经纬度坐标转换为工程坐标，其中不可避免的涉及到坐标系之间转换参数的求解。在工程中时常使用不同的坐标转换方法。武汉大学张晓东课题组的此篇文章，空间坐标与投影系统系列(三)：坐标转换，详细阐述了坐标转换的定义和一般方法。

但在实际的工程中，我们使用的方法有以下几种：

1. 三参数转换法
2. 七参数转换法
3. 四参数转换+高程拟合
4. 一步法
5. 校正参数

他们本质上是两种类型，

1. 两个三维直角坐标系之间的转换 ——>7个参数
2. 两个平面直角坐标系之间的转换 ——>4个参数

结合工程中使用条件，他们被简化、组合，从而形成了以上5种不同的坐标系转换方法（叫法）。接下来对5种方法坐标转换的原理、使用条件做出总结和资料聚合。

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2. 三参数法

三参数，是指坐标系的 X、Y、Z三个轴的平移参数\(\Delta x, \Delta y, \Delta z\)。是七参数方法的简化。
要求已知一个国家坐标点即可。因此，这一个点的坐标对应值相减，即可得到这三个参数\(\Delta x, \Delta y, \Delta z\)。

这种转换方式多运用于信标，SBAS，固定差改正以及精度要求不高的地方即最远点间的距离不大于30Km^[1]。在RTK模式下，作用距离在5km范围较平坦的地方（基站开机模式）。随着移动站离基准站距离的增加，精度越来越低，一般3km精度能在5cm以内。

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3. 七参数法

七参数法，是指坐标系X、Y、Z三个轴的平移参数\(\Delta x, \Delta y, \Delta z\)，加上三个轴的旋转\(\theta_x, \theta_y, \theta_z\)，再加上尺度参数\(m\)。
至少三个已知坐标点，已知点可以是国家坐标系下的坐标，或着是与WGS-84坐标系之间存在很小旋转坐标系下的坐标，4个点时，可以检验已知点的正确性。此方法解算模型严谨，因此要求已知点的坐标精度高，一般在大范围作业时使用，当已知点精度不高时，不推荐使用七参数。

3.1 布尔莎模型

七参数法，本质上是两个三维直角坐标系之间的转换。当两个直角坐标系的三个轴旋转变换很小时，才能够使用^[2]。公式如下：

\[\left[\begin{array}{l} X \\ Y \\ Z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \end{array}\right]+(1+m)\left[\begin{array}{ccc} 1 & \theta_z & -\theta_y \\ -\theta_z & 1 & \theta_x \\ \theta_y & -\theta_x & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} X_0 \\ Y_0 \\ Z_0 \end{array}\right] \]

3.2 代码实现

关于布尔莎模型的代码实现，网上很多例子，python、C++都有实现，不在赘述。

3.3 大角度坐标系七参数计算

当两个直角坐标系三个轴旋转变换\(\theta_x, \theta_y, \theta_z\)不在是微小量时，上述布尔莎模型模型就失效了，一般工程中并不会设计此问题。但也不排除一些特殊情况下，需要计算大角度坐标系转换七参数，多在学术研究中体现。知网上能检索到一大把，但一般都需要迭代实现^[3]。

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4. 四参数+高程拟合

4.1 四参数

四参数，是指 两个平面直角坐标系之间的参数，X、Y轴平移参数\(\Delta x, \Delta y\)，加上坐标轴旋转参数\(\theta\)，再加上尺度因子\(K\)。
要求两个任意坐标点，精度在小范围内可靠。

四参数求解，相对简单，很多博客也做出很好的解答，同时也有代码实现：

• 坐标转换四参数解算
• 坐标转换 - 四参数求解
• 2坐标转换 四参数/七参数/正形变换 ∈ C# 编程笔记
• 【坐标转换】——基础知识与公式

4.2 高程拟合

上述四参数求解后，对于高程，没有继续深入的讲解，因为四参数本质上是平面的坐标转换。但工程中不可缺少高程的求解。对于不同的条件，也就是不同数量的已知点，我们可以使用不同的高程拟合方式。
这里，我并不会详细的讲述测量中高程的定义，因为它包含正高和正常高，是高程系统之间的转换。只需要知道需要高程转换这么一个步骤。

4.3 高程拟合方法

高程拟合常用方法有以下四种：

1. 固定差改正：接收机测到的高程加上固定常数作为使用高程，常数可以为负数。
2. 平面拟合：对应于多个水准点处的高程异常，生成一个最佳的拟合平面，当此平面平行于水平面时，平面拟合等同于固定差改正。
3. 曲面拟合：对应于多个水准点处的高程异常，生成一个最佳的拟合抛物面。曲面拟合对起算数据要求比较高，如果拟合程度太差，可能造成工作区域中的高程改正值发散。
4. 带状拟合：已知两个水准点，虚拟出一个水准点，变成3个水准点后再进行平面拟合。

求解他们的所需点数如下表所示：

高程拟合方法	所需点数
固定改正差	1
平面拟合	3
曲面拟合	6
带状拟合	3

他们之间的关系可以使用下图展示：

5. 一步法

所谓“一步法”，其实是测量中常见的术语，适合中小区域（一般为10km*10km的范围内）。参数形式和标准七参数一样，还有“两步法”的叫法，与之相应的也有“经典三维”。他们都是在测绘时，手簿的内置坐标转换方法，其本质上是不转换形式下，七参数、四参数、高程拟合的不同组合。

知乎大佬三维地图技术社区对此有过详细解释：坐标转换与参数计算介绍，测绘人必备知识点！现在总结如下，此小节图片来源于这位大佬的文章。

1. “一步法”，忽略源椭球和目标椭球之间的差异，在投影坐标转地方坐标时，使用四参数+高程拟合
   

2. “两步法”，考虑源椭球和目标椭球之间的差异，在椭球的空间直角坐标系转换时使用7参数，且在投影坐标转地方坐标时，使用四参数+高程拟合
   

6. 校正参数

校正参数，用于计算两坐标系统之间的平面、高程平移参数。它是在上述方法计算完成后，输入一个已知点，计算校正，调整参数的一个过程。通常在以下两种情况，可以使用校正参数。

1. 只有一个BJ-54、国家-80坐标或只有一个和WGS-84坐标系旋转很小的坐标系下的坐标，基准站架设好后，移动站可以直接到一个已知点，当前点的WGS-84坐标，并已知点的当地坐标，计算得出已知坐标和当前坐标的改正量dx、dy、dz，根据此，校验参数。
2. 假设已建好一个项目，参数计算完以后，正常工作了一段时间，由于客观原因，第二次作业不想把基准站架设在和第一次同样的位置，此时，可以用到点校正功能，只需要将基准站任意架设，打开第一次使用的项目，到一个已知点上校正坐标即可。校正方法和第一种情况相同。

7. 总结

综上所述，关于工程坐标系的转换方法、类别过程可以用如下图示，不同的方法组合成了不同的工程叫法。

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1. 空间坐标与投影系统系列(四)：七参数转换实例 ↩︎

2. 误差理论与测量平差基础 ↩︎

3. 知网检索：'大角度' and '七参数' ↩︎