算法设计与分析PTA考试

7-1 递归二路归并排序

题目

本题目要求读入N个整数，采用递归的二路归并排序法进行排序，输出前3轮排序后的结果。

输入格式

输入不超过100的正整数N和N个整数(空格分隔)。

输出格式

输出三行，第一行为第一轮排序结果，第二行为第二轮排序结果，第三行为第三轮排序结果。数据间用
一个空格分隔。

为简便起见，最后一个元素后也有一个空格。

输入样例

5
54321

输出样例

4 5 3 2 1 
3 4 5 2 1 
3 4 5 1 2 

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mst(x, y) memset(x, y, sizeof x)
#define endl '\n'
#define INF LONG_LONG_MAX
#define int long long
#define Lson u << 1, l, mid
#define Rson u << 1 | 1, mid + 1, r
#define FAST ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
const int N = 2000010, MOD = 1e9 + 7;
const double EPS = 1e-6;
typedef pair<int, int> PII;
int T;
int n;
int idx = 1;
int a[N], tmp[N];
void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r)
        return;

    int mid = l + r >> 1;

    merge_sort(q, l, mid), merge_sort(q, mid + 1, r);

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j])
            tmp[k++] = q[i++];
        else
            tmp[k++] = q[j++];
    while (i <= mid)
        tmp[k++] = q[i++];
    while (j <= r)
        tmp[k++] = q[j++];

    for (i = l, j = 0; i <= r; i++, j++)
        q[i] = tmp[j];
    if (idx <= 3)
    {
        idx++;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cout << a[i] << " ";
        cout << endl;
    }
}

void solve()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> a[i];

    merge_sort(a, 0, n - 1);
}
signed main()
{
    FAST;
    T = 1;
    // cin >> T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}

7-2 非递归二路归并排序

为啥不直接sort，谁出的题谁写去吧，一写一个不吱声

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define mst(x, y) memset(x, y, sizeof x)
#define endl '\n'
#define INF LONG_LONG_MAX
#define int long long
#define Lson u << 1, l, mid
#define Rson u << 1 | 1, mid + 1, r
#define FAST ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
const int N = 2000010, MOD = 1e9 + 7;
const double EPS = 1e-6;
typedef pair<int, int> PII;

int n;
int T = 1;
int a[N], t[N];

void merge_sort()
{
    int cnt = 0;
    for (int len = 1; len <= n; len <<= 1)
    {
        int tt = 0;
        for (int i = 1, j; i <= n;)
        {
            j = i + len;
            if (j > n)
                break;
            int zr = i + len - 1, yr = min(n, j + len - 1);
            while (i <= zr && j <= yr)
            {
                if (a[i] <= a[j])
                    t[++tt] = a[i++];
                else
                    t[++tt] = a[j++];
            }
            while (i <= zr)
                t[++tt] = a[i++];
            while (j <= yr)
                t[++tt] = a[j++];
            i = yr + 1;
        }
        for (int k = 1; k <= tt; ++k)
            a[k] = t[k];
        cnt++;
        if (cnt <= 3)
        {
            for (int k = 1; k <= n; ++k)
                cout << a[k] << " ";
            cout << endl;
        }
    }
}

void solve()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> a[i];
    merge_sort();
}

signed main()
{
    FAST;
    // cin >> T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}

7-3 最长公共子序列

题目

给定两个序列 X=<x1,x2,...,xm> 和 Y=<y1,y2,...,yn>，要求找出 X 和 Y 的一个最长公共子序列。

输入格式

共有两行。每行为一个由大写字母构成的长度不超过 1000 的字符串，表示序列 X 和 Y。

输出格式

第一行为一个非负整数。表示所求得的最长公共子序列的长度。若不存在公共子序列，则输出文件仅有一行输出一个整数 0。

输入样例

ADCBDAB
BDCABC

输出样例

4

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mst(x, y) memset(x, y, sizeof x)
#define endl '\n'
#define INF LONG_LONG_MAX
#define int long long
#define Lson u << 1, l, mid
#define Rson u << 1 | 1, mid + 1, r
#define FAST ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
const int N = 2010, MOD = 1e9 + 7;
const double EPS = 1e-6;
typedef pair<int, int> PII;
int T;
int n, m;
string a, b;
int f[N][N];
void solve()
{
    cin >> a >> b;
    a = " " + a, b = " " + b;

    n = a.size() - 1, m = b.size() - 1;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
            if (a[i] == b[j])
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
        }

    cout << f[n][m] << endl;
}
signed main()
{
    FAST;
    T = 1;
    // cin >> T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}

7-4 0-1背包

题目

给定n(n<=100)种物品和一个背包。物品的重量是Wi(wi<=100),价值为Vi(vi<=100),背包的容量为C(C<=1000)。

应如何选择装入背包中的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?在选择装入背包的物品时,对每种物品只有两个选择:装
入或不装入。不能将物品装入多次,也不能只装入部分物品。

输入格式

共有n+1行输入：

第一行为n值和c值,表示n件物品和背包容量c;

接下来的n行,每行有两个数据,分别表示第i (1≤isn)件物品的重量和价值。

输出格式

输出装入背包中物品的最大总价值。

输入样例

5 10
26
23
65
54
46

输出样例

15

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mst(x, y) memset(x, y, sizeof x)
#define endl '\n'
#define INF LONG_LONG_MAX
#define int long long
#define Lson u << 1, l, mid
#define Rson u << 1 | 1, mid + 1, r
#define FAST ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
const int N = 2010, MOD = 1e9 + 7;
const double EPS = 1e-6;
typedef pair<int, int> PII;
int T;
int n, m;
int f[N];
int w[N], v[N];
void solve()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = m; j >= v[i]; j--)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << f[m] << endl;
}
signed main()
{
    FAST;
    T = 1;
    // cin >> T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}

7-5 单源最短路径

题目

请编写程序求给定正权有向图的单源最短路径长度。图中包含n个顶点，编号为0至n-1，以顶点0作为源点。

输入格式:

输入第一行为两个正整数n和e，分别表示图的顶点数和边数，其中n不超过20000，e不超过1000。接下来e行表示每条边
的信息，每行为3个非负整数a、b、c，其中a和b表示该边的端点编号，c表示权值。各边并非按端点编号顺序排列。

输出格式:

输出为一行整数，为按顶点编号顺序排列的源点0到各顶点的最短路径长度(不含源点到源点)，每个整数后一个空格。
如源点到某顶点无最短路径，则不输出该条路径长度。

输入样例:

44
011
031
131
201

输出样例:

11

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mst(x, y) memset(x, y, sizeof x)
#define endl '\n'
#define INF LONG_LONG_MAX
#define int long long
#define Lson u << 1, l, mid
#define Rson u << 1 | 1, mid + 1, r
#define FAST ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
const int N = 100010, MOD = 1e9 + 7;
const double EPS = 1e-6;
typedef pair<int, int> PII;
int T;
int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int w[N];
int dist[N];
bool st[N];
void add(int x, int y, int c)
{
    w[idx] = c;
    e[idx] = y;
    ne[idx] = h[x];
    h[x] = idx++;
}
int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
    dist[0] = 0;

    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, 0});

    while (heap.size())
    {
        PII k = heap.top();
        heap.pop();
        int ver = k.second, distance = k.first;

        if (st[ver])
            continue;
        st[ver] = true;

        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > distance + w[i])
            {
                dist[j] = distance + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }
    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f)
        return -1;
    else
        return dist[n];
}
void solve()
{
    memset(h, -1, sizeof(h));
    cin >> n >> m;

    while (m--)
    {
        int x, y, c;
        cin >> x >> y >> c;
        add(x, y, c);
    }

    dijkstra();

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (dist[i] < 0x3f3f3f3f)
            cout << dist[i] << " ";
    }
}
signed main()
{
    FAST;
    T = 1;
    // cin >> T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}

7-6 最小生成树

题目

给定结点数为 n, 边数为 m 的带权无向连通图 G, 所有结点编号为 1,2,…,n。

求 G 的最小生成树的边权和。

输入格式

第一行两个正整数 n,m。

之后的 m 行,每行三个正整数 ui, vi, w;(1 < ui, vi < n, 0<wi≤109),描述一条连接结点 ui

和 vi, 边权为 w; 的边。

输出格式

一个整数表示 G 的最小生成树的边权和。

输入样例

7 12
129
152
163
235
267
346
373
456
472
563
576
671

输出样例

16

数据范围与提示

1 < n < 2 × 1e5, 0 < m < 5e5

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mst(x, y) memset(x, y, sizeof x)
#define endl '\n'
#define INF LONG_LONG_MAX
#define int long long
#define Lson u << 1, l, mid
#define Rson u << 1 | 1, mid + 1, r
#define FAST ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
const int N = 2e5 + 10, M = 5e5 + 10, MOD = 1e9 + 7;
const double EPS = 1e-6;
typedef pair<int, int> PII;
int T;
int n, m;
int p[N];

struct Edge
{
    int a, b, w;

    bool operator<(const Edge &e) const
    {
        return w < e.w;
    }
} es[M];

int find(int x)
{
    if (p[x] != x)
        p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    int cnt = 0, res = 0;

    sort(es, es + m);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        p[i] = i;

    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a = es[i].a, b = es[i].b, w = es[i].w;
        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt++;
        }
    }

    return res;
}
void solve()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;
        es[i] = {a, b, w};
    }

    int t = kruskal();
    cout << t << endl;
}
signed main()
{
    FAST;
    T = 1;
    // cin >> T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}

7-7 n 皇后问题

题目

将 n 个皇后放在 nxn 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到。即任意两个皇后都不
能处于同一行、同一列或同一斜线上。

输入格式

共一行，包含整数 n(1≤ n ≤12)。

输出格式

给出所有可能摆放情况的种数，结尾无空格换行。

输入样例

4

输出样例

2

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mst(x, y) memset(x, y, sizeof x)
#define endl '\n'
#define INF LONG_LONG_MAX
#define int long long
#define Lson u << 1, l, mid
#define Rson u << 1 | 1, mid + 1, r
#define FAST ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
const int N = 2010, MOD = 1e9 + 7;
const double EPS = 1e-6;
typedef pair<int, int> PII;
int T;
int n, res;
bool col[N], dg[N], udg[N];
void dfs(int u)
{
    if (u == n)
    {
        res++;
        return;
    }
    int x = u;

    for (int y = 0; y < n; y++)
    {
        if (!col[y] && !dg[y - x + n] && !udg[y + x])
        {
            col[y] = dg[y - x + n] = udg[y + x] = true;
            dfs(x + 1);
            col[y] = dg[y - x + n] = udg[y + x] = false;
        }
    }
}
void solve()
{
    cin >> n;
    dfs(0);
    cout << res << endl;
}
signed main()
{
    FAST;
    T = 1;
    // cin >> T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}

7-8 旅行售货员

题目

某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程（或旅费）。他要选定一条从驻地出发，经过每个城市
一遍，最后回到驻地的路线，使总的路程（或总旅费）最小。

输入格式

第一行为城市数 n

下面 n 行 n 列给出一个完全有向图，如 i 行 j 列表示第 i 个城市到第 j 个城市的距离。

输出格式

一个数字，表示最短路程长度。

输入样例

3
021
102
210

输出样例

3

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mst(x, y) memset(x, y, sizeof x)
#define endl '\n'
#define INF LONG_LONG_MAX
#define int long long
#define Lson u << 1, l, mid
#define Rson u << 1 | 1, mid + 1, r
#define FAST ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
const int N = 20, MOD = 1e9 + 7;
const double EPS = 1e-6;
typedef pair<int, int> PII;
int T;
int n;
int g[N][N];
int f[1 << 10][N];
void solve()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            cin >> g[i][j];

    mst(f, 0x3f);

    f[1][0] = 0;
    for (int i = 1; i < 1 << n; i += 2)
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            if (i >> j & 1)
                for (int k = 0; k < n; ++k)
                    if (j != k && (i >> k & 1))
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + g[k][j]);

    int res = INF;

    for (int i = 1; i < n; i++)
        res = min(res, f[(1 << n) - 1][i] + g[i][0]);

    cout << res << endl;
}
signed main()
{
    FAST;
    T = 1;
    // cin >> T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}

7-9 装箱问题

题目

假设有N项物品，大小分别为s1、s2、…、si、…、sn，其中si为满足1≤si≤100的整数。要把这些物品装入到容量为100的一批箱子（序号1-N）中。装箱方法是：对每项物品, 顺序扫描箱子，把该物品放入足以能够容下它的第一个箱子中。请写一个程序模拟这种装箱过程，并输出每个物品所在的箱子序号，以及放置全部物品所需的箱子数目。

输入格式

输入第一行给出物品个数N（≤1000）；第二行给出N个正整数si（1≤si≤100，表示第i项物品的大小）。

输出格式

按照输入顺序输出每个物品的大小及其所在的箱子序号，每个物品占1行，最后一行输出所需的箱子数目。

输入样例

8
60 70 80 90 30 40 10 20

输出样例

60 1
70 2
80 3
90 4
30 1
40 5
10 1
20 2
5

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mst(x, y) memset(x, y, sizeof x)
#define endl '\n'
#define INF LONG_LONG_MAX
#define int long long
#define Lson u << 1, l, mid
#define Rson u << 1 | 1, mid + 1, r
#define FAST ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
const int N = 2000010, MOD = 1e9 + 7;
const double EPS = 1e-6;
typedef pair<int, int> PII;
int T;
int n;
int res = 1;
int a[N], v[N];
int id[N];
void solve()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        v[i] = 100;
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (a[i] <= v[j])
            {
                v[j] -= a[i];
                id[i] = j;
                break;
            }
            else if (j == res)
            {
                res++;
                v[res] -= a[i];
                id[i] = res;
                break;
            }
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cout << a[i] << " " << id[i] << endl;
    cout << res << endl;
}
signed main()
{
    FAST;
    T = 1;
    // cin >> T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}

7-10 电路布线

题目

在解决电路布线问题时，一种很常用的方法就是在布线区域叠上一个网格，该网格把布线区域划分成m*n个方格，布线时，转弯处必须采用直角，如已经有某条线路经过一个方格时，则在该方格上不允许叠加布线。如下图所示，如从一个方格a(2，1)的中心点到另一个方格b（8,8）的中心点布线时， 每个方格布线时需要1个单位的电路材料，所需要最少的电路材料是16。

输入格式

第一行输入网格的m和n

第二行开始输入网格中已经布线的情况，如果已经有布线时，用1表示，尚未布线时，用0表示。

接下来两行分别输入需要布线的起始位置a和结束位置b。

输出格式

输出从起始位置a到结束位置b布线时所需要的最少电路材料。

输入样例

8 8
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1
1 0 1 1 0 1 1 0
1 0 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1 0
2 1
8 8

输出样例

16

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mst(x, y) memset(x, y, sizeof x)
#define endl '\n'
#define INF LONG_LONG_MAX
#define int long long
#define Lson u << 1, l, mid
#define Rson u << 1 | 1, mid + 1, r
#define FAST ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
const int N = 2010, MOD = 1e9 + 7;
const double EPS = 1e-6;
typedef pair<int, int> PII;
int T;
int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};
int n, m;
int stx, sty, edx, edy;
int g[N][N], d[N][N];
int res;
void bfs(int stx, int sty)
{
    queue<PII> q;
    q.push({stx, sty});
    d[stx][sty] = 1;

    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();
        int x = t.first, y = t.second;

        for (int i = 0; i < 4; i++)
        {
            int xx = x + dx[i], yy = y + dy[i];
            if (xx >= 1 && xx <= n && yy >= 1 && yy <= m && g[xx][yy] && !d[xx][yy])
            {
                d[xx][yy] = d[x][y] + 1;
                q.push({xx, yy});
            }
        }
    }
}
void solve()
{
    mst(d, 0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            cin >> g[i][j], g[i][j] = 1 - g[i][j];

    cin >> stx >> sty >> edx >> edy;

    bfs(stx, sty);

    cout << d[edx][edy] << endl;
}
signed main()
{
    FAST;
    T = 1;
    // cin >> T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}

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