CF 1100~1500 数论

GCD Partition

题意：

给定长度为 $n$ 的数组 $a$。

要求把它分成 $k(1<k\le n)$ 个子段，要求所有子段和的最大公约数最大，求这个最大值。

设 $l_i,r_i(1\le l_i\le k)$ 分表示第 $i$ 个子段的左右端点。这个子段的子段和 $b_i=\sum _{j=l_i}^{r_i}{a}_j$。

要求 $l_i\le r_i$，对于所有 $1\le j<k$，有 $l_{j+1}=r_j+1$，并且 $l_1=1,r_k=n$。最大化 $gcd(b_1,b_2,...,b_k)$。

分析：

由于是对子段求公共GCD，可知子段和是连续的
假设对于一种分段方式中有 n 段，假设此时的公共 GCD 为 k，显然 k 必定满足是所有段和的约数，接下来合并其中两个段，此时的 n - 1 段仍然满足 k 为每段的约数
立即推：分成 2（k ＞ 1）段时，此时的 GCD 最大

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Make It Round

题意：

给定 $n$ 和 $m$, 我们可以把 $n$ 变为 $n\cdot k(1\le k\le m,k\in N^{\ast })$, 请输出末尾 $0$ 的个数最多的 $n\cdot k$。

• 例如, $481000$ 比 $1000010$ 末尾 $0$ 的个数更多
• 如果有多个末尾 $0$ 个数最多的 $n\cdot k$, 则输出其中最大的一个
• 如果不存在末尾 $0$ 个数更多的 $n\cdot k$, 则输出 $n\cdot m$

分析：

对于给定的$n$，若要在末尾产生$0$，则必须通过与本身因数中的$2$或$5$相乘或者直接乘$10$获得
所以应当尽量先消耗$2$和$5$的个数（在$m$的范围内取对应的数），最后要保证数尽量的大，所以在取完$2，5，10$之后检查是否能继续乘上一个数使数增大

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