二叉树平衡检查（递归思想分析）

二叉树平衡检查

题目描述

实现一个函数，检查二叉树是否平衡，平衡的定义如下，对于树中任意一个结点，两颗子树的高度差不超过1。给定指向树根结点的指针TreeNode* root，请返回一个bool，代表这棵树是否平衡。

解题思路

树结构自身就是递归定义，很多问题都可以利用递归巧妙地实现，对于这道题，关键点有两处：

1. 求结点左右子树高度差
2. 遍历树中所有结点

之前我们做过树的最大深度问题以及树的遍历问题，将两者结合起来，便可以解决这两个关键点。
解题思路为：

1. 若根结点为空，则二叉树平衡
2. 调用Depth函数求结点高度
3. 分别求出结点左右子树高度并将高度差赋给differ，判断是否满足平衡二叉树的条件
4. 递归遍历左子树和右子树，重复以上操作

源代码

/*
struct TreeNode {
    int val;
    struct TreeNode *left;
    struct TreeNode *right;
    TreeNode(int x) :
            val(x), left(NULL), right(NULL) {
    }
};
*/

class Balance {
public:
    bool isBalance(TreeNode* root) {
        if (!root)
            return true;
        int differ=Depth(root->left)-Depth(root->right);
        if (differ>1||differ<-1)
            return false;
        return isBalance(root->left)&& isBalance(root->right);       //递归遍历树中所有结点
    }
    //计算结点高度
    int Depth(TreeNode *root) {
        if (!root)
            return 0;
        int L_high=Depth(root->left);
        int R_high=Depth(root->right);
        return (left>right) ? (left+1) : (right+1);
    }
};

递归思想分析

这道题中值得一提的是其中体现出的递归思想，源代码中有两处递归调用，而如果我们去观察的话，会发现它们的形式是不同的。isBalance函数中，问题的解决在递归调用函数之前，而在Depth函数中，递归调用函数在问题的解决之前。但是，这又有什么不同呢？

我们知道递归是一个调用并返回的过程，它要求待解决的问题可以拆分为很多个解法相同或类似的小问题,通过递的过程由近及远，到达临界点（也就是结束条件）然后再开始归，我们经常搞不清楚的是在这样一个过程中，问题是如何一步步被解决的？

之前看了一篇关于大脑理解递归的文章，里面对于这一点讲得很好，对于我理解递归起到了很大的帮助。
递归过程有不同的模式，而它们都有三个共同的要素：递+结束条件+归

模式1

function(大问题)  {
    if (end_condition)  {             //结束条件
        return ;
    }
    else  {
        //先将一个大问题拆分为小问题，当“递”到“结束条件”返回的过程中，再依次解决问题
        recursive(小问题);          // 递  =>  递归调用函数
        solve questions;           // 归  =>  问题的解决
    }
}

这种模式就对应于源代码中的Depth函数，假如我们给定一棵如下结构的二叉树，

我们去分析Depth函数的递归流程，如下：

从图中可以看出，程序的执行流程是递归调用函数（递）→返回（结束条件）→解决问题（归），问题是在递归调用返回的过程中一步步被解决的。

模式2

function(大问题)  {
    if (end_condition)  {          //结束条件
        return ;
    }
    else  {
        //在将大问题逐步拆分为小问题的同时去解决问题
        solve questions;            // 递  => 问题的解决
        recursive(小问题);          // 递  => 递归调用函数
    }
}

这种模式就对应于源代码中的isBalance函数，依旧利用上面提及的二叉树结构，去分析isBalance函数的递归流程，如下：

从图中可以看出，程序的执行流程是解决问题（递）→递归调用函数（递）→返回（结束条件）→一步步返回上层（归），每一次问题的解决都是在递归调用函数的过程中（递）便已经被解决，而不是在返回（归）的过程中。

对于递归思想的理解，有人曾做了一个形象的比喻：

你打开面前这扇门，看到屋里面还有一扇门（这门可能跟前面打开的门一样大小（静），也可能门小了些（动）），你走过去，发现手中的钥匙还可以打开它，你推开门，发现里面还有一扇门，你继续打开，。。。， 若干次之后，你打开面前一扇门，发现只有一间屋子，没有门了。 你开始原路返回，每走回一间屋子，你数一次，走到入口的时候，你可以回答出你到底用这钥匙开了几扇门。

这种说法其实并不全面，它对应了模式1，在归的过程中一步步解决问题。
或许我们可以对其稍加修改，以对应模式2。

你打开面前这扇门，看到屋里面还有一扇门（这门可能跟前面打开的门一样大小（静），也可能门小了些（动）），你走过去，发现手中的钥匙还可以打开它，你推开门，发现里面还有一扇门，你继续打开。。。而在打开门的过程中，每走到一间屋子，你数一次， 若干次之后，你打开面前一扇门，发现只有一间屋子，没有门了。 你开始原路返回，走到入口的时候，你可以回答出你到底用这钥匙开了几扇门。

这两种形式都有调用并返回（递归）的过程，不同点在于问题被解决的时机不同，有可能是在递的过程中就已经被解决，也可能是在归的过程中被解决。

以上是我对于递归的一些理解，可能会有不当之处，望指出Thanks♪(･ω･)ﾉ