【微机】机器数的原码、反码、补码

 

微机机器数的原码、反码、补码

 一、相关基础知识                                                 

 

机器数：在机器中，用二进制表示有符号数，用最高位表示符号，其余的为数值位，这样一组连同符号也编码化的二进制数称为机器数。(符号位0为正，1为负)

 

真值：机器数所代表的数值大小称为机器数的真值（ 即实际的值，有正负，例如1000 0001的真值为 = –000 0001 = –1，1000 0001即为机器数）。

 二、具体内容                                                     

1.原码（True Form）

   在机器数中最高位为符号位，符号位为0表示正数，符号位为1表示负数，其余为该数的绝对值，这种表示方法 就称为原码。

 

例如：

      8位二进制原码表示数的范围是-127到+127，即-2^7-1到2^7-1，最高位为符号位

 

      0的原码有两种表示方法，即+0和-0，设字长为8位

      【+0】原= 0000 0000B

      【-0】原=1000 0000B

 

   采用原码表示法时，编码简单直观，与真值转换方便，便于人识别，但也带来一些麻烦

   一：是引起机器中零的表示不唯一，零有二义性，给机器判零带来麻烦，必须在设计时约定好机器采用正零或负零

   二：是不便于进行加减运算，用原码进行四则运算时，符号位需单独处理，而且原码加减运算规则复杂。

      

   N位二进制原码的表示范围为-(2-1)到+(2-1)

2.反码（One’s Complement）

正数的反码与原码相同。

负数的反码等于原码除符号位外，其余各位按位取反。即符号位依旧是0正1负，其余的取反

 

例如：   

       0的反码也有两种表示方法，即+0和-0，设字长为8位

      【+0】原= 0000 0000B  （与原码相同）

      【-0】原=1111 1111B   （符号位相同，其余取反）

 

   N位二进制反码的表示范围为-(2-1)到+(2-1)

 

3.补码（Two’s Complement）

正数的补码表示与原码相同，即【X】补=【X】原=【X】反

负数的补码等于它的反码加1，即在其反码的最低位加1就为该数的补码

 

例如：

     0的补码只有一种就是 0000 0000，无论+0或者-0，在补码中也应没有-0的概念

     而原可表示-0的1000 0000 则表示为-128，则可多表示一个数，所以位于4位int型，可以表示范围是: [-231， 231-1] 

 

N位二进制补码的表示范围为-2到+(2-1)

 

 三、分析总结                                                     

也即正数以原码存储，负数以补码存储，符号位0为正1为负，0的存储形式只有+0为0000 0000，没有-0，1000 0000表示-128，为2^(N-1)

为何计算机有原码、反码、补码？

   首先对于原码，人眼可很快根据最高位识别出一个数的正负且进行正确的加减运算，例如一个正数加上一个负数，我们能很快辨别出是等于这个正数减去负数的绝对值，但对于计算机，为设计简单，在计算机中只有加法器，没有减法器，CPU只会做加法，若用2个原码或反码进行相应加法则运算会发生错误，所以由相应的规定人为可以很轻松看出真值的原码，到规定计算机原码到补码转化过程中的反码，再到最后规定了可只用加法器就能进行正确运算的补码，所以计算机中的所有数都是补码形式进行存储！（基本可以这样认为，负数用补码表示，正数的原码等于补码） 

   总之采用补码可用加法的运算代替减法运算，从而可以简化硬件结构，降低成本！

 

为什么以补码形式存储能让CPU进行正确运算？

  形象的可解释为在日常生活中，如钟表系统，若当前世界为10点，我想将时间调回8点，第一种方法是往回拨即逆时针旋转2小时、旋转14小时、旋转26小时。。。。。

第二种方法是往前拨即顺时针旋转10小时、旋转22小时、旋转34小时。。。。。

若顺时针拨为正，逆时针为负则用数字表示即调时间方法为：

10时-2时=8时  10时+10时=20时=8时 也即 10-2=8  10+10=8

 

很巧妙的将10减2变成了加10，因为时针是圆的，时针一圈为12小时，上午8点与晚上20点在时针上的位置是一样的，因为他们相差12小时,20点减去一个周期12小时即得到了8点

 

这在数学上称其为共模同余，其中12称为时针技术系统的模，也即10-2=10+10（Mod 12）  

 

计算机也正是用这以数学思想，巧妙的将原来本是减法运算转换成可进行正确的加法运算

也就是说假设是在当模为12时，我们需要计算机进行10-2的运算，计算机将10存为补码10，-2存为补码10，然后进行相加，所得的结果为20，由于超过了位码，舍去了计数器的一个最高位也即模的大小，即12，剩下位数为8，8依旧为补码，再转换成原码输出给我们，为8（不过计算机采用的模不是12，而是2！）

对于字长为N位的二进制计数系统，某一个数X，其绝对值小于模数|X|<2，补码定义如下：

                              【X】补=2+X

若X为正数，即0《X<2-1，则【X】补=2+X=X，因为计数器加上2，超过位数，自然丢失这一位，等于没加，见后例

若X为负数，即-2《X《0，则【X】补=2+X=2-|X|，即该数补码为模减去该负数的绝对值（这也形象说明计算机采用的是共模同余的这种数学思想，虽然计算机无法进行2-|X|这种减法运算，不过计算机能够判断符号位是0还是1，以及将1变成0，0变成1，也能进行加1操作，进行这些操作也即是负数的补码是等于它的反码加1）

 

通过这样定义的补码存储在计算机当中，当进行运算时若有超过模的部分位数会被自然丢失，剩下位数所得结果再转换成相应的原码即为正确运算结果

 

       

 四、实例测试                                                    

例：

计算64-10=？

 在字长为8为的二进制计数器系统中

64的补码为： 0 100 0000B

-10的原码为：1 000 1010B

-10的反码为：1 111 0101B

-10的补码为：1 111 0110B  

   

 然后将2数的补码相加：

   0100 0000=【+64】补

+  1111 0110=【-10】补

  1 0011 0110=【+54】补

 

1由于为8位系统，被自然丢失！0011 0110表示的补码原码也为0011 0110，即表示+54，也与事实相符