浅谈莫队

update on 2022.07.01

昨天被 hs 嘲讽了 /kk

补上了高维莫队

前言

都到 2022 年了，随着莫队二次离线的学习完毕，终于把莫队给学完了！/ll

本文重在总结，~~而不在证明时间复杂度之类的~~

~~至于莫队的时间复杂度为什么带根号，是因为莫队的本质是分块~~

~~英文名字都是我蒙的，如果雷人那也么办法~~

前提

莫队是有适用条件的：

可离线
$\mathcal O(1)$ 增 or 删（还有一种情况可以用二次离线解决）
可接受 $\mathcal O(n \sqrt m) / \mathcal O(n^{\frac 5 3})$ 的时间复杂度

普通莫队（$\texttt{Ordinary Mo's Algorithm}$）

最基本的莫队，块长一般设为 $\frac n {\sqrt m}$

询问按奇偶排序

inline bool operator < (const query x, const query y)
{
	if (x.lt != y.lt) return x.lt < y.lt;
    return x.lt & 1 ? x.r < y.r : x.r > y.r; // 这一行交换 '<' 和 '>' 也可以
}

记住 $l,r$ 指针的移动顺序，先扩展再收缩，扩展时先动指针再更新，收缩时先贡献再动指针（这样准没错）

l = 1, r = 0;
for : Queries
{
	while (l > ql) add(--l);
	while (r < qr) add(++r);
	while (l < ql) del(l++);
	while (r > qr) del(r--);   
}

时间复杂度为 $\mathcal O(n \sqrt m)$

花神的嘲讽计划Ⅰ

带修改的莫队（$\texttt{Mo's Algorithm with Modifications}$）

块长一般为 $n^{\frac 2 3}$

在询问中加入一维，为上次修改的时间

按左端点所在块、右端点所在块、时间，依次为关键字排序

inline bool operator < (const query x, const query y)
{
    if (x.lt != y.lt) return x.lt < y.lt;
    if (x.rt != y.rt) return x.rt < y.rt;
    return x.t < y.t;
}

~~当然，也可以加一点玄学奇偶优化~~

指针也理所应当地再加一个表示时间，同样先扩展再收缩（类比 $r$ ）~~（时间正向流逝应该是一种扩展吧）~~

但要注意的是，时间的指针应当最后移动

具体地，修改操作进行时应当判断对当前询问的区间是否会产生影响

如果有影响就增加贡献；否则直接改变原序列（默认修改操作形如将 $a_x$ 改为 $y$）

而修改操作的撤销，可以理解为再次修改为原值，所以修改时直接 swap(a[x], y)

l = 1, r = 0, t = 0;
for : Queries
{
    while (l > q[i].l) add(--l);
    while (r < q[i].r) add(++r);
    while (l < q[i].l) del(l++);
    while (r > q[i].r) del(r--);
    while (t < q[i].t) change(++t, i); // 执行对应的修改操作，传 i 是为了判断修改位置是否在当前询问区间内
    while (t > q[i].t) change(t--, i);
}

时间复杂度为 $\mathcal O(n^{\frac 5 3})$

[国家集训队] 数颜色 / 维护队列

树上莫队（$\texttt{Mo's Algorithm on Tree}$）

块长一般为 $\frac {2n} {\sqrt {m}}$

直接~~树链剖分~~遍历树，整出欧拉序（也叫括号序），树上两点间路径的询问转化为欧拉序上对应区间的询问

在区间中出现两次的点，不会出现在路径中，而出现一次的点必然出现在路径中

但出现在路径中的点，不一定会在对应的欧拉序区间中出现（比如两点的 $\rm LCA$）

所以每次指针移动时需根据该点出现的次数来判断是 add 还是 del

并且还要注意特判 $\rm LCA$ ，当 $\rm LCA$ 不为端点时，要在最后加入 $\rm LCA$ 的贡献

由于欧拉序的长度为 $2n$，所以多个 $2$ 的常数

时间复杂度为 $\mathcal O(2n\sqrt m)$

COT2 - Count on a tree II

树上带修改的莫队（$\texttt{Mo's Algorithm with Modification on Tree}$）

额。。。结合上面两种就行了（单纯只是想蒙个英文）

但要注意，在修改进行前，要先算 $\rm LCA$ 的贡献

块长一般为 $(2n)^{\frac 2 3}$

时间复杂度为 $\mathcal O((2n)^{\frac 5 3})$

[WC2013] 糖果公园

回滚莫队（$\texttt{Mo's Algorithm Which Can Roll Back}$）

当贡献只能快速地进行添加/删除其中一种时，我们还是可以用莫队

块长一般为 $\sqrt n$

下面以只加不删莫队为例

按左端点所在块为第一关键字，右端点下标为第二关键字排序

inline bool operator < (const query x, const query y)
{
	return x.lt == y.lt ? x.r < y.r : x.lt < y.lt;
}

枚举每个块 $i$ ，将 $l \leftarrow R_i + 1, r \leftarrow R_i$ ，其中 $R_i$ 是第 $i$ 块的右端点

枚举左端点在该块内的所有询问：

对于区间长度小于块长的询问，直接暴力做，比如交给函数 inline void yrl_can_do_this(const int l, const int r);
对于区间长度大于块长的询问，$qr$ 必然大于 $R_i$，又由于这些询问的右端点 $qr$ 是递增的，所以右指针 $r$ 只会 $r++$，而至于做左指针，处理每个询问时都把 $l \leftarrow R_i + 1$，并记录此时的状态（就是维护的那些东西），显然 $l$ 只会 $l--$ ，最后统计答案后把状态还原。这一过程中维护的区间一直在扩展，所以不需要删除操作。

时间复杂度是 $\mathcal O(m \sqrt n)$，这里与普通莫队有点出入

~~所以有些时候可以用这个听上去更高级的玩意儿去替代普通莫队~~

Rmq Problem / mex

莫队二次离线（$\texttt{Mo's Algorithm with Twice Offline Invented by lxl}$）

当添加和删除都不是很快时，我们还是可以用莫队~~（但这当然是有前提的）~~

莫队是离线算法，但是它还可以离线

块长一般为 $\sqrt n$

排序依旧按左端点所在块为第一关键字，右端点下标为第二关键字排序

设 $f(x, l, r)$ 表示 $x$ 这个位置给 $[l, r]$ 这个区间带来的贡献

以右指针 $r++$ 时为例，新增的贡献 $\Delta = f(r, l, r - 1)$

如果恰好这个 $f$ 可以差分的话（比如 $a_x$ 与 $a_{l\sim r}$ 形成的逆序对个数可等于 $a_x$ 与 $a_{1 \sim r}$ 形成的逆序对个数，减去 $a_x$ 与 $a_{1, l - 1}$ 形成的逆序对个数）

那么有

\[\begin{aligned} \Delta &= f(r, l, r - 1)\\ & =f(r, 1, r - 1) - f(r, 1, l - 1)\\ \end{aligned} \]

如果又恰好 $f(r, 1, r - 1)$ 可以以可观的时间预处理（比如 $a_r$ 与 $a_{1 \sim r - 1}$ 形成的逆序对数可以用树状数组 $\mathcal O (n \log n)$ 的时间复杂度预处理）

那么我们就可以离线预处理 $f(r, 1, r - 1)$ ~~（这不废话）~~

而对于 $-f(r, 1, l - 1)$ 可以将 $r$ 插入到 $l - 1$ 的 vector 中，相当于在从 $1$ 扫到 $l - 1$ 时，一次询问 $a_r$ 与当前扫过的数的逆序对数

在插入 vector 的同时，带上预处理的第一部分的贡献，即 $f(r, 1, r - 1)$

然后做一次扫描线，算第二部分的贡献，即 $-f(r, 1, l - 1)$

具体地，当扫描到 $l - 1$ 时，我们算上 $a_r$ 与当前 $a_{1 \sim l - 1}$ 所产生的贡献（逆序对数）

这样我们每扫到一个点修改一次，然后处理该点 vector 内的询问

共 $\mathcal O(n)$ 次修改，$\mathcal O(n \sqrt m)$ 次询问（莫队指针移动次数为 $\mathcal O(n \sqrt m)$ ，每移动一次指针对应一次询问）

有时候如果单次询问时间复杂度还是很高，可以考虑根号平衡，让每次修改 $\mathcal O(\sqrt n)$ ，每次询问 $\mathcal O (1)$

这样时间复杂度 $\mathcal O(n \sqrt n + n \sqrt m)$ ，比较优秀，但空间复杂度为 $\mathcal O(n \sqrt m)$，不够优秀 /ng

考虑到右指针 $r$ 会一直 $r ++$ 直到不满足 $r < qr$，所以我们直接存指针的移动，即将 $\{r, qr - 1\}$ 插入到 $l - 1$ 的 vector 中，扫到 $l - 1$ 时再遍历一遍 $r \rightarrow qr - 1$ 即可，计算方式同上

时间复杂度依旧为 $\mathcal O(n \sqrt n + n \sqrt m)$ ，但空间复杂度降为 $\mathcal O(m)$

剩下三种指针移动类似，下面仅供参考

l = 1, r = 0;
for : Queries
{
    if (l > ql) v[r].push_back({ql, l - 1, i, 1});
    if (r < qr) v[l - 1].push_back({r + 1, qr, i, -1});
    if (l < ql) v[r].push_back({l, ql - 1, i, -1});
    if (r > qr) v[l - 1].push_back({qr + 1, r, i, 1});
}

[Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology II

高维莫队（$\texttt{Higher Dimensional Mo's Algorithm}$）

当询问区间变成了询问子矩阵，我们当然还是可以用莫队

如果我们将普通莫队理解为一维莫队的话，那么对于 $k$ 维莫队

块长 $\frac {\sqrt[k]{\prod_i n_i}} {\sqrt[2k]{m}}$ （这个块长真的很快）

其中 $n_i$ 表示第 $i$ 维的大小，$m$ 表示询问个数

故 $\sqrt[k]{\prod_i n_i}$ 为维度大小的几何平均

而对于排序，我们考虑按前 $k - 1$ 维所在块分别为第 $1 \sim k - 1$ 关键字，第 $k$ 维坐标为第 $k$ 关键字

struct query
{
    int l[K], r[K], lt[K], rt[K];
    // 该询问的第 i 维的范围是 [l[i], r[i]]
    // l[i], r[i] 所在的块分别是 lt[i], rt[i]
};

inline bool operator < (const query x, const query y)
{
    for (i : 1 -> k)
        if (x.lt[i] != y.lt[i]) return x.lt[i] < y.lt[i];
    	else if (x.rt[i] != y.rt[i]) return x.rt[i] < y.rt[i];
    if (x.lt[k] != y.lt[[k]]) return x.lt[k] < y.lt[k];
   	return x.r[k] < y.r[k];
}

~~当然，维数较小时，可以考虑循环展开以优化常数~~

指针移动同理，先扩展再收缩，绝对没错

for (i : 1 -> m) // 枚举询问
	for (j : 1 -> k) // 枚举维度
    	while (l[j] > q[i].l[j]) add[j](--l[j]);
		while (r[j] < q[i].r[j]) add[j](++r[j]);
		while (l[j] < q[i].l[j]) del[j](l[j]++);
		while (r[j] > q[i].r[j]) del[j](r[j]--);

如果你还不知道函数还可以开数组，请自行百度 std::function 学习高级语法

~~同样地，当维数较小时，可将内层 $j$ 的循环展开~~

时间复杂度 $\mathcal O(nm^{\frac {2k - 1} {2k}})$

~~其实带修改的莫队可以看作是 $\frac 3 2 $ 维莫队（~~

「BZOJ2639」矩形计算

有了高维莫队，也就有了什么高维带修改的莫队、高维树上莫队、高维树上带修改的莫队。。。

如果还有什么补充快来D我 /kk

posted @ 2022-06-29 20:50 After-glow 阅读(588) 评论(3) 编辑收藏举报

刷新页面返回顶部

After-glow

浅谈莫队

浅谈莫队

update on 2022.07.01

前言

前提

普通莫队（\(\texttt{Ordinary Mo's Algorithm}\)）

带修改的莫队（\(\texttt{Mo's Algorithm with Modifications}\)）

树上莫队（\(\texttt{Mo's Algorithm on Tree}\)）

树上带修改的莫队（\(\texttt{Mo's Algorithm with Modification on Tree}\)）

回滚莫队（\(\texttt{Mo's Algorithm Which Can Roll Back}\)）

莫队二次离线（\(\texttt{Mo's Algorithm with Twice Offline Invented by lxl}\)）

高维莫队（\(\texttt{Higher Dimensional Mo's Algorithm}\)）

More

公告