闭区间内模d为r的数有几个？

——有些时候，一些看起来简单的问题，可没那么简单。
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  • 在这篇文章里面，你会看到编程语言的一些关于整数除法的细节，以及一种解决区间上一些问题的方案。

  • 问题的精确描述

    在区间[a, b]上，有多少个数字，对d整数除法，得到的结果是r？
    用代码描述一下：
    int i;
for (i = a; i <= b; i++) {
    if (i % d == r)
        s++;
}
printf("%d", s);
    好吧，用循环做很简单，但是如果\(b-a\)很大呢？
    这个时候就得要推导一下了。

  • 问题解决方案：

    • 分而治之
      先解决一个更加简单的问题，在[0, b]上的解决方案。
      为什么是它呢？因为[0, b]上有几个，[0, a - 1]上有几个，一相减，不就是结果了吗？
      比如[3, 7]上有3数模2得1，[0, 7]上有4个，[0, 3 - 1]上1个，4-1=3。
      好，接下来来解决这个问题。
      一个整数可以表达为：\(k * d + r\)，基于这个，在[0, b]上有几个模d为r的数，可以转为，有几个k可以做到\(k * d + r \le b\)，不能是\(<\)，因为b可能刚好就模d为r。
      接下来就先变成这个形式：

      \[k \le \frac{b - r}{d} \]

      根据不等式：

      \[n \le \frac{a}{b} < n + 1, n, a, b为正整数 \]

      可以得出

      \[n \le \lfloor \frac{a}{b} \rfloor < n + 1 \]

      得到

      \[n = \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \]

      接下来， 用它和

      \[k \le \frac{b - r}{d} \]

      得到

      \[k \le \lfloor \frac{b - r}{d} \rfloor \]

      那么，有几个k能够做到呢？
      想想，\(k \in Z^+\)，那么\(k \ge 0\)均可，那么可以得到，有\(k - 0 + 1 = k + 1\)个可以，也就是$$ \lfloor \frac{b - r}{d} \rfloor + 1$$
      那么，就可以算出来，[a, b]上有几个数能够做到模d为r。
    • 整数除法的细节
      在c和python里面这么写：
      print(int(-1 / 2))
      得到的是
      0
      （但是python里，-1//2是可以的，大概是自带向下取整吧）
      所以，对于浮点数取整数，编程语言里面很有可能是直接截断小数部分，所以-0.5截断后就是0了。这个可以理解，因为这样速度更快。浮点数的实现，就是靠着科学计数法来的。具体有机会再说吧。
      所以，不能够直接写成：(b - r) / d + 1，因为，如果b=0, r = 1, d = 2,结果直接就是1，明显不对， 因为(b - r) / d不是真正的向下取整，因为它为0。
      怎么办？
      不妨变一下形式：
      $ \lfloor \frac{b - r}{d} \rfloor + 1$
      \(= \lfloor \frac{b - r}{d} \rfloor + 1 + 1 - 1\)
      \(= \lfloor \frac{b - r + d}{d} \rfloor + 1 - 1\)
      \(= \lfloor \frac{b - r + d}{d} \rfloor\)
      这下还有个小问题，如果b是负数，就不一定正确了。

  • 实战