中国剩余定理及其证明

1. 中国剩余定理表述

设正整数$m_1,m_2,\cdots,m_n$两两互素，则同余方程组:

$$\begin{cases} x \equiv a_1(mod \quad m_1) \\ x \equiv a_2(mod \quad m_2) \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ x \equiv a_n(mod \quad m_n) \\ \end{cases}$$

有整数解，且在模$M = \prod_{i=1}^{n} m_i$下的解是唯一的，解为:

$$x \equiv (a_1M_1M_1^{-1} + a_2M_2M_2^{-1} + \cdots + a_nM_nM_n^{-1})\; mod\;M$$

其中$M_i = M / m_i$，$M_i^{-1}$为$M_i$模$m_i$的逆元.

2. 证明

为了证明$x$是上述同余方程组的解，则需要对每个方程考察x通解中的每一项.

对于$\forall i \in \{1,2,\cdots,n\}$，证明

$$x \equiv a_i(mod \; m_i)$$

下面考察$x$通解中的每一项。

$\forall j \in \{1,2,\cdots,n\},$令$x_j = a_jM_jM_j^{-1}$, 则$i$与$j$可分为两种情况：

1. 当$i\neq j$时，由于$M_j = M /m_j$，所以$M_j \; mod \; m_i = 0$，故$x_j \; mod\;m_i = 0$

2. 当$i = j$时，由于$M_j = M /m_j$，，且$m_1,m_2,\cdots,m_n$两两互素，所以$M_jM_j^{-1} \equiv 1 (mod\; m_i)$，故$x_j \equiv a_j(mod\; m_i)$，即$x_i \equiv a_i(mod\; m_i)$

则:

$$\begin{aligned} x &\equiv (a_1M_1M_1^{-1} + a_2M_2M_2^{-1} + \cdots + a_nM_nM_n^{-1})\; mod\;M \; mod\; m_i\\ &\equiv (x_1 + x_2 + \cdots + x_n) \;mod\; m_i\\ &\equiv (a_i + \sum_{j\neq i}0)\;mod \;m_i \\ &\equiv a_i \; mod\;m_i \end{aligned}$$

即$\forall i \in \{1,2,\cdots,n\}$，$x \equiv (a_1M_1M_1^{-1} + a_2M_2M_2^{-1} + \cdots + a_nM_nM_n^{-1})\; mod\;M$，满足方程$x \equiv a_i(mod \; m_i)$，可得$x$是方程组的通解，证毕。