线性常系数齐次递推关系与特征多项式
前言：
建议在阅读前先看这篇：生成函数的简单应用
也可搭配视频食用：线性常系数齐次递推关系
在本文中，我们将介绍一种名为特征多项式的东西，利用它可以快捷方便的求解通项公式。
定义：
$$a_n + c_1a_{n-1} + ... c_ka_{n-k} = 0$$
$$a_0 = d_0, a_1 = d_1, ..., a_{k-1} = d_{k-1}$$
若$c_1,c_2,...,c_k; d_0,d_1,...,d_{k-1}$都是常数，则上式称为$k$阶的线性常系数齐次递推关系。
我们定义上式的特征多项式为：$$C(x) = x^k + c_1x^{k-1} + ... + c_k$$
接下来，我们将通过一系列的推导来说明母函数与特征多项式的关系。
推导：
设序列$a$的母函数为：$$G(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ...$$
显然有：
$$x^k(a_k + c_1a_{k-1} + ... + c_ka_0) = 0$$
$$x^{k+1}(a_{k+1} + c_1a_{k} + ... + c_ka_1) = 0$$
接下来的$x^{k+2}, x^{k+3}, ...$也是同理。我们将等式两边分别相加，可以得到：
$$G(x) - \sum_{h=0}^{k-1}a_hx^h + c_1x[G(x) - \sum_{h=0}^{k-2}a_hx^h] + ... + c_kx^kG(x) = 0$$
移项后得：
$$(1 + c_1x + c_2x^2 + ... + c_kx^k)G(x) = \sum_{h=0}^{k-1} [c_hx^h(\sum_{j=0}^{k-1-h}a_jx^j)]$$
令：
$$P(x) = \sum_{h=0}^{k-1} [c_hx^h(\sum_{j=0}^{k-1-h}a_jx^j)]$$
$$R(x) = 1 + c_1x + c_2x^2 + ... + c_kx^k$$
则：
$$G(x) = \frac{P(x)}{R(x)}$$
然后我们考虑分母$R(x)$与特征多项式$C(x)$的关系：
$$R(x) = x^k[\frac{1}{x^k} + c_1\frac{1}{x^{k-1}} + ... + c_{k-1}\frac{1}{x} + c_k] = x^kC(\frac{1}{x})$$
因为$C(x) = 0$有$k$个根。
令：
$$C(x) = (x - a_1)^{k_1}(x - a_2)^{k_2}...(x-a_t)^{x_t}$$
$$k_1 + k_2 + ... + k_t = k$$
所以：
$$G(x) = \frac{P(x)}{(1-a_1x)^{k_1}(1-a_2x)^{k_2}...(1-a_tx)^{k_t}}$$
接下来，我们将分三类讨论（无重根，有重根，复数根），从而利用上面的式子求出通项公式。
无重根：
若特征多项式$C(x) = x^k + c_1x^{k-1} + ... + c_k$无重根。
则$G(x)$可化简为：
$$G(x) = \frac{l_1}{1-a_1x} + \frac{l_2}{1-a_2x} + ... + \frac{l_k}{1-a_kx} = \sum_{i=1}^{k} \frac{l_i}{1-a_ix}$$
于是我们得到：
$$a_n = \sum_{i=1}^{k} l_i * a_i^n$$
好像很有道理，可是我们不知道$l_i$的值啊？
这很好办，我们已经知道了$a_0, a_1, ..., a_{k-1}$的值，于是我们可以列出$k$个方程，从而解出$l_1 - l_k$的值。
做个例题试试：
- 已知：$a_n - a_{n-1} - 12a_{n-2} = 0, a_0 = 3, a_1 = 26$，求$a_n$的表达式
写出特征多项式：$C(x) = x^2 - x - 12 = 0, (x-4)(x+3) = 0$
于是：$G(x) = \frac{P(x)}{(1-4x)(1 + 3x)}$
即：$G(x) = \frac{l_1}{1-4x} + \frac{l_2}{1+3x}$
得到：$a_n = l_14^n + l_2(-3)^n$
代入$a_0 = 3, a_1 = 26$，解得：$l_1 = 5, l_2 = -2$
所以：$a_n = 5 * 4^n - 2 * (-3)^n$
是不是比普通的母函数法方便多了。
有重根：
设$\beta$是$C(x)$的$k$重根
则$G(x)$可化简为：
$$G(x) = \sum_{i=1}^{k} \frac{l_i}{(1- \beta x)^i}$$
于是：
$$a_n = \sum_{i=1}^{k} l_i C_{n+i-1}^{i-1} \beta^n$$
和无重根的情况一样，我们同样可以列出$k$个方程来求解$l_i$的值。
下面来看一个例题：
- $a_n - 4a_{n-1} + 4_a{n-2} = 0, a_0 = 1, a_1 = 4$，求$a_n$的值
写出特征多项式：$C(x) = x^2 - 4x + 4 = 0, (x-2)^2 = 0$
于是$G(x) = \frac{l_1}{1 - 2x} + \frac{l_2}{(1 - 2x)^2}$
于是：$a_n = l_1 * 2^n + l_2(n+1)2^n$
代入：$a_0 = 1, a_1 = 4$，解得：$l_1 = 0, l_2 = 1$
所以：$a_n = (n+1)2^n$
复数根：
对于复数还不是太懂，先咕着。。。
