最短路问题

最短路问题

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• 求从s到t权值和最小的路径
• Floyd 算法：
• 多源最短路，求出所有点对的最短路长度
• 时间复杂度：\(O(n^3)\)
• Dijkstra 算法：
• 单源最短路，求出某个点s到所有点的最短路长度
• 时间复杂度：\(O(n^2)/O(mlogn)\)
• 无法处理负权
• SPFA 算法，即队列优化的Bellman-Ford 算法：
• 单源最短路，求出某个点s到所有点的最短路长度
• 时间复杂度：声称为\(O(m)\),最坏\(O(nm)\),容易卡到最坏
• 可以处理负权边，可以判断负环

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Floyd

• 设\(d[i][j][k]\)为从\(i\)到\(j\)，仅通过编号为\(1 - k\)的中间节点的最短路径距离
• \(d[i][j][k] = min(d[i][j][k - 1], d[j][k][k - 1] + d[k][j][k - 1])\)
• 初始值\(d[i][j][0]\)为两点之间边权值，未连通为\(INF\)
• 从\(1\)到\(n\)枚举\(k\)，然后枚举\((i, j)\)
• 为了方便可以不开第三维，在原地迭代--\(d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j])\)

代码

int d[MAXN][MAXN];

void Floyd(){
	for(int k = 1; k <= n; ++k){
		for(int i = 1; i <= n; ++i){
			for(int j = 1; j <= n; ++j){
				if(i != j && i != k && j != k)
					d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
			}
		}
	}
}

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单源最短路

• 维护一个\(dis[MAXN]\)数组，\(dis[i]\)代表\(s\)到\(i\)的最短路径长度
• \(dis[s] = 0\)，其他为\(INF\)
• 松弛操作：通过某条路径更新\(dis[v]\)的值
• \(if(dis[v] > dis[u] + e.dist) dis[v] = dis[u] + e.dist\)
• 尝试使用\(s\)到\(u\)的最短路加上边\((u, v)\)的长度来更新\(s\)到\(v\)的最短路

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SPFA

• Bellman-Ford：对整张图进行n - 1次松弛，每次枚举每条边进行松弛，最后一定能得出最优解
• SPFA：在上述过程中避免无意义的松弛
• 只有成功的松弛操作才会对那个点产生影响，所以使用队列维护等待松弛的点，每次取出一个点进行松弛，对于所有松弛成功的点加入队列
• 判负环：某个点松弛了n次，说明有负环

代码

bool vis[N];
queue<int> q;
void SPFA(int s){
	memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
	d[s] = 0;
	q.push(s);
	vis[s] = true;
	while(!q.empty()){
		int u = q.front(); q.pop();
		vis[u] = false;
		for(int i = head[u]; i; i = edge[i].nxt){
			int v = edge[i].v;
			int w = edge[i].w;
			if(dist[u] + w < d[v]){
				d[v] = d[u] + w;
				if(!vis[v]){
					q.push(v);
					vis[v] = true;
				}
			}
		}
	}
}

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Dijkstra

• 起点作为已访问集合的第一个点，并更新相连的点的dis

• 找到未被访问的dis最小的点，标记访问，用这个点更新相连的点dis

• 重复上述过程直到所有的点均被访问

• 问题在于“找到未被访问的dis最小的点”这一步，两种不同的实现方法会带来两种复杂度

• 枚举每个点

• 当点u的距离更新时，将(dis[u], u)插入堆中，这样堆中可能有多个u，此时取出后面的点时，会发现u已经被访问过不再处理

代码

void Dijkstra(int s){
	memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
	dist[s] = 0;
	q.push(mk(dist[s], s));
	while(!q.empty()){
		int u = q.top().second;
		int d = q.top().first; q.pop();
		if(d > dist[u]) continue;
		for(int i = head[u]; i; i = edge[i].nxt){
			int v = edge[i].v;
			int w = edge[i].w;
			if(dist[u] + w < dist[v]){
				dist[v] = dist[u] + w;
				q.push(mk(dist[v], v));
			}
		}
	}
}