剑指offer第9题

解题思路一

/**
 * 目标：
 * 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。
 * 求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
 * 思路：
 * 因为是n级台阶，第一步有n种跳法：跳1、2、3。。。n级
 * 第一步：
 * 跳1级，剩下n-1级，则剩下的跳法是f（n-1）
 * 跳2级，剩下的跳法是f（n-2）
 *
 * 。。。。
 *
 * 跳n级，剩下的跳法是f（0）,所以一次跳n级只有1种方式
 * 因此
 * f（n）= f（n-1）+f（n-2）+。。。+f（1）+1
 * f（n-1）= f（n-2）+。。。+f（1）+1
 * 所以
 * f（n）= 2*f（n-1）
 *
 */
public class Sulution9 {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if (target==1){
            return 1;
        }
        if (target==2){
            return 2;
        }
        int result = 1;
        for (int i = 1; i < target; i++) {
            result = result*2;
        }
        return result;
    }
}

解题思路二

可以尝试用动态规划的思想

了解动态规划

动态规划的判断步骤:

1、是否含有最优子结构

即一个问题的最优解依赖与它所有子问题的解.

对于这道题，由于情况可以选择跳一级，也可以选择跳两级...选择跳n级，所以青蛙到达第n 级的台阶有n种方式

• 一种是从第n-1 级跳上来
• 一种是从第n-2 级跳上来
• ....
• 从第n级跳上来

第n级台阶的最优解依赖于各个子问题最优解的和,即:

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(1)+f(0)

2、是否含有重叠子问题

跳到第n-1阶的最优解同样依赖于各个子问题的最优解的和,并且可以类推.

因此这是一个动态规划问题.

动态规划的解题步骤:

1、定义数组元素间的含义

我们以dp[n]表示跳到第n级台阶的所有可能性,即跳上一个n级的台阶总共有 dp[n] 种跳法。

2、找出数组元素间的关系

就是把一个规模比较大的问题分成几个规模比较小的问题，然后由小的问题推导出大的问题。也就是说，dp[n] 的规模为 n，比它规模小的是 n-1, n-2, n-3…. 也就是说，dp[n] 一定会和 dp[n-1], dp[n-2]….存在某种关系的。因此要找出他们的关系。

• 一种是从第n-1 级跳上来
• 一种是从第n-2 级跳上来
• ....
• 从第0级跳上来

由于我们是要算所有可能的跳法的，所以有

dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]+....+dp[0]

而:

dp[n-1] = dp[n-2] + dp[n-3]+....+dp[0]

因此我们知道:

dp[n] = 2 * dp[n-1]

3、找出初始值

当n = 1 时，dp[1] = dp[0] + dp[-1]，而我们是数组是不允许下标为负数的，所以对于 dp[1]，我们必须要直接给出它的数值，相当于初始值，显然，dp[1] = 1。一样，dp[0] = 0.（因为 0 个台阶，那肯定是 0 种跳法了）。于是得出初始值：

dp[0] = 0;
dp[1] = 1;

代码:

public int JumpFloorII(int target) {
        if (target<0){
            return target;
        }
        //定义数组含义
        int[] dp = new int[target+1];
        //找到初始值
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i < target+1; i++) {
            //找到数组元素间的关系
            dp[i] = 2*dp[i-1];
        }
        return dp[target];
    }