剑指offer第8题--动态规划最简单讲解

/**
 * 目标：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。
 * 求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。
 * 思路：
 * 只有1级时有1种
 * 只有两级时有2种
 * 之后每级，都有f（n-1）+f（n-2）种
 */
public class Solution8 {
    public int JumpFloor(int target) {
        if (target ==1){
            return 1;
        }
        if (target==2){
            return 2;
        }
        int result=0,result1=1,result2=2;
        for (int i = 3; i <= target; i++) {
            result = result1+result2;
            result1 = result2;
            result2 = result;
        }
        return result;
    }
}

小结

这道题其实是动态规划的思想,而且是一维的DP.

什么是一维DP?

即可以用一维数组表示的动态规划问题.

动态规划的判断步骤:

1、是否含有最优子结构

即一个问题的最优解依赖与它所有子问题的解.

对于这道题，由于情况可以选择跳一级，也可以选择跳两级，所以青蛙到达第n 级的台阶有两种方式

• 一种是从第n-1 级跳上来
• 一种是从第n-2 级跳上来

第n级台阶的最优解依赖于跳第n-1和第n-2级的最优解的和.

2、是否含有重叠子问题

跳到第n-1阶的最优解依赖于第n-2和第n-3的最优解的和,并且可以类推.

因此这是一个动态规划问题.

动态规划的解题步骤:

1、定义数组元素间的含义

我们以dp[n]表示跳到第n级台阶的所有可能性,即跳上一个n级的台阶总共有 dp[n] 种跳法。

2、找出数组元素间的关系

就是把一个规模比较大的问题分成几个规模比较小的问题，然后由小的问题推导出大的问题。也就是说，dp[n] 的规模为 n，比它规模小的是 n-1, n-2, n-3…. 也就是说，dp[n] 一定会和 dp[n-1], dp[n-2]….存在某种关系的。因此要找出他们的关系。

那么问题来了，怎么找？

这个怎么找，是最核心最难的一个，回到问题本身，来寻找他们的关系式，dp[n] 究竟会等于什么呢？

对于这道题，由于情况可以选择跳一级，也可以选择跳两级，所以青蛙到达第n 级的台阶有两种方式

• 一种是从第n-1 级跳上来
• 一种是从第n-2 级跳上来

由于我们是要算所有可能的跳法的，所以有dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]。

3、找出初始值

当n = 1 时，dp[1] = dp[0] + dp[-1]，而我们是数组是不允许下标为负数的，所以对于 dp[1]，我们必须要直接给出它的数值，相当于初始值，显然，dp[1] = 1。一样，dp[0] = 0.（因为 0 个台阶，那肯定是 0 种跳法了）。于是得出初始值：

 

dp[0] = 0.
dp[1] = 1.

 

但是这里有一个坑,就是当n=2时,明显有两种跳法,而不是dp[2] = dp[0]+dp[1] = 1,dp[2]可以每次跳1级,或者一次跳两级,因此dp[2] = 2.

这里留有这样的坑是为了引起注意,找初始值一定要严谨!!!

代码:

public int JumpFloor(int target) {
        if (target <=1){
            return target;
        }
        if (target==2){
            return 2;
        }

        //定义数组的含义
        int[] dp = new int[target+1];
        //找到初始值
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;

        for (int i = 3; i < target+1; i++) {
            //找出数组元素间的关系
            dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[target];
    }