Dilworth定理

这个定理和一个对偶定理,讲的意思大概就是,给一个偏序关系,比如说是一个数它出现的位置i在另一个数出现的位置j之前,而且满足ai>aj.那么满足这个偏序关系的链就叫做链.关于链和反链:

链（chain）是一个偏序集S的全序子集（所谓全序是指任意两个元素可比较）

反链（antichain）是一个偏序集S的子集，其中任意两个元素不可比较.

dilworth说的是:最大链的长度等于最少反链覆盖数.而最大反链的长度等于最少链覆盖数.

看下这个定理的一个应用.

Hdu1257导弹拦截系统,以前有个经典的dp题是求最长不升子序列的,那就是求满足偏序关系i<j且ai>=aj的最长链的长度.根据dilworth,它应该等于最少反链覆盖数.也就是用贪心求出所有上升的序列,然后统计个数,这就是最少反链覆盖数.

而这个题是求需要的最少的导弹拦截系统的数量,其实就是求反链个数.也就是求最长链的长度,所以贪心求个数可以解,求dp也可以解.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
#define maxn 100005
//dilworth定理的应用 定义偏序关系 x<=y <=为{i<j时,hi>=hj} 即最少链覆盖数 应该等于 最长反链数即求最大的满足偏序关系 {i<j时 hi<hj}的链长度
//所以该问题就是求最长上升子序列
//普通方法是O(n^2) 二分是O(nlgm)
int h[maxn],f[maxn];
int main()
{
    int n,i,j,k;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
      for(i=1;i<=n;i++)
       scanf("%d",&h[i]);
      f[1]=1;
      int res=1;
      for(i=2;i<=n;i++)
      {
       int temp=0;
       for(j=1;j<i;j++)
        if(h[i]>h[j])
         if(temp<f[j]) temp=f[j];
       f[i]=temp+1;
       if(f[i]>res) res=f[i];
      }
      cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}