题目大意:
给一个n*n的方阵A,令S=A+A^2+...+A^k 给定k,m
输出这样的S方阵,里面的每一项模m后的结果。
方阵中的元素可以是方阵.
令S(i)=A+A^2+...+A^i
那么观察相邻的两个S
S(i-1)=A+A^2+...+A^(i-1)
S(i)=A+A^2+...+A^(i-1)+A^i
S(i)=S(i-1)*A+A
有了这个递推关系.构造一个初始矩阵
(A E) ps:A为刚开始给定的方阵,E为单位矩阵.这个矩阵是n行2*n列
再构造一个快速幂的方阵
(A E
A 0) ps:0代表全是0的矩阵
这是一个2*n行2*n列的方阵
然后快速幂k-1次再与初始矩阵相乘就是结果(别忘了取模)
1A代码
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <string.h> 4 #include <stdlib.h> 5 #define maxn 65 6 using namespace std; 7 int MOD; 8 __int64 num[maxn][maxn]; 9 int N; 10 class Matrix{ 11 public: 12 int row,col; 13 __int64 mapp[maxn][maxn]; 14 Matrix(int r,int c):row(r),col(c){} 15 Matrix(){} 16 void ini() 17 { 18 for(int i=0;i<2;i++) 19 for(int j=0;j<2;j++) 20 { 21 for(int q=0;q<N;q++) 22 for(int k=0;k<N;k++) 23 { 24 if((i==0&&j==0)||(i==1&&j==0)) 25 mapp[i*N+q][j*N+k]=num[q][k]; 26 else 27 if(i==1&&j==1) 28 if(q==k) mapp[i*N+q][j*N+k]=1; 29 else mapp[i*N+q][j*N+k]=0; 30 else 31 mapp[i*N+q][j*N+k]=0; 32 } 33 } 34 } 35 void unit() //单位矩阵的初始化 36 { 37 memset(mapp,0,sizeof(mapp)); 38 for(int i=0;i<row;i++) 39 mapp[i][i]=1; 40 } 41 void zero() 42 { 43 memset(mapp,0,sizeof(mapp)); 44 } 45 void result() 46 { 47 for(int i=0;i<row;i++) 48 { 49 for(int j=0;j<row;j++) 50 { 51 if(j!=0) cout<<" "; 52 cout<<mapp[i][j]; 53 } 54 cout<<endl; 55 } 56 } 57 friend Matrix operator*(const Matrix&,const Matrix&); 58 void Pow(int); 59 }; 60 Matrix operator*(const Matrix& M1,const Matrix& M2) 61 { 62 Matrix M(M1.row,M2.col); 63 for(int i=0;i<M1.row;i++) 64 for(int j=0;j<M2.col;j++) 65 { 66 M.mapp[i][j]=0; 67 for(int k=0;k<M2.col;k++) 68 M.mapp[i][j]=(M.mapp[i][j]+M1.mapp[i][k]*M2.mapp[k][j])%MOD; 69 } 70 return M; 71 } 72 Matrix M; 73 void Matrix::Pow(int n)//矩阵快速幂 74 { 75 //cout<<n<<endl; 76 Matrix temp(N*2,N*2); 77 temp.ini(); 78 while(n) 79 { 80 if(n&1) 81 M=M*temp; 82 temp=temp*temp; 83 n>>=1; 84 } 85 } 86 int main() 87 { 88 int m,k; 89 scanf("%d%d%d",&N,&k,&m); 90 MOD=m; 91 Matrix resM(N,2*N); 92 M.row=N*2;M.col=N*2; 93 M.unit(); 94 for(int i=0;i<N;i++) 95 for(int j=0;j<N;j++) 96 { 97 scanf("%I64d",&resM.mapp[i][j]); 98 num[i][j]=resM.mapp[i][j]; 99 } 100 for(int i=0;i<N;i++) 101 for(int j=N;j<2*N;j++) 102 if(i==j-N) resM.mapp[i][j]=1; 103 else resM.mapp[i][j]=0; 104 if(k>1) 105 { 106 M.Pow(k-1); 107 resM=resM*M; 108 } 109 resM.result(); 110 return 0; 111 }
还可以有其他构造方法
比如
S(i)=S(i-1)+A^i
按照这样的递推式构造
前一个矩阵(A A^2)
后一个方阵(E 0
E A)
这样应该也是可以的.
结论:不同的递推式有不用的构造方法...
