树中结点，高度及度的计算

计算$m$叉树的最小高度

层数	结点数
第一层	$1$
第二层	$m^1$
第三层	$m^2$
$\vdots$	$\vdots$
第$h$层	$m^{h-1}$

故要求得最小高度每层都应为满结点的$m$叉树。设结点数为$n$，则$n\le 1+m^1+m^2+\cdots+m^{h-1}$。利用数列前$n$项和公式：

$$\begin{equation*} \begin{aligned} &等差数列前n项和:S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n+1)}{2}d\\ \\ &等比数列前n项和:S_n=\frac{a_1(1-q)^n}{1-q} \end{aligned} \end{equation*}$$

$n\le\frac{1·(1-m^{h-1})}{1-m}\Longrightarrow nm-n+1\le m^{h-1}$两边取对数得：

$$h=\lceil\log_m(n(m-1)+1)\rceil$$

树易混淆概念

注意区分以下概念：

1. 树的高度：是从下往上数

   

2. 树的深度：从上往下数

   

3. 树的度：各结点的度的最大值

   

   如上面树的度$=3$，是结点D

度的计算

树中结点数等于所有结点的度数之和加上$1$(根节点)

度为$m$的树中第$i$层至多有$m^{i-1}$个结点，即满$m$叉树的情况。

$\Large 例1:$已知一棵树度为$4$的树中，度为$0,1,2,3$的结点数分别为$14,4,3,2$，求该树的结点总数$n$和度为$4$的结点个数，并给出推导过程。

$$\begin{equation*} \begin{aligned} \\\Large{解:}\\ &设n_i表示度为i的结点,则总结点数n:\\ \\ &①n=n_0+n_1+n_2+n_3+n_4=23+n_4\\ \\ &且树种结点数等于所有结点度数之和+1\\ \\ &②n=n_0·0+n_1·1+n_2·2+n_3·3+n_4·4\\ \\ &=0·14+1·4+2·3+3·2+4·n_4+1\\ \\ &=17+4n_4\\ \\ &故17+4n_4=23+n_4,得n_4=2,n=25\\ \\ &\therefore 该树总结点数为25,n_4为2 \end{aligned} \end{equation*}$$

$\Large 例2:$已知一棵度为$m$的树中，有$n_1$个度为$1$的结点，有$n_2$个度为$2$的结点$\cdots$有$n_m$个度为$m$的结点，问该树有多少个叶结点。

$$\begin{equation*} \begin{aligned} \\\Large{解:}\\ &树中结点数等于所有结点的度数之和加上1:\\ \\ &即n=n_1+2n_2+\cdots+mn_m+1=\sum_{i=1}^{m}in_i+1\\ \\ &且总结点数n=n_0+n_1+\cdots+n_m,即\\ \\ &n_0=\sum_{i=1}^{m}in_i-(n_1+n_2+\cdots+n_m)+1\\ \\ &=\sum_{i=1}^{m}in_i-\sum_{i=1}^{m}n_i+1=1+\sum_{i=1}^{m}n_i(i-1) \end{aligned} \end{equation*}$$

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本文作者：Acidm
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