表达式求值

栈的应用—表达式求值

表达式通常由三部分组成：①操作数②运算符③界限符(括号等)

常见表达式有以下几种：

1. 中缀表达式：$a+b$、$a\backslash b$、$a+b-c$、$a+b-c*d$

   特点：运算符在两个数中间

2. 后缀表达式(逆波兰表达式)：$ab+$、$ab\backslash$、$ab+c-$、$ab+cd*-$

   特点：运算符在两个操作数后面

3. 前缀表达式(波兰表达式)：$+ab$、$\backslash ab$、$-+abc$、$-+ab*cd$

   特点：运算符在操作数前面

1. 中缀表达式转后缀方法

遵循左优先原则。

①确定运算顺序

②选择下一个运算符，按照$[左操作数$ $右操作数$ $运算符]$的方式组合成一个新的操作数

③如果还有运算符没被处理，继续②

如$中缀表达式((15÷(7-(1+1)))\times3)-(2+(1+1))$转换为后缀步骤：

1. $1$ $1$ $+$
2. $7$ $1$ $1$ $+$ $-$
3. $15$ $7$ $1$ $1$ $+$ $-$ $÷$
4. $15$ $7$ $1$ $1$ $+$ $-$ $÷$ $3$ $\times$
5. $15$ $7$ $1$ $1$ $+$ $-$ $÷$ $3$ $\times$ $1$ $1$ $+$
6. $15$ $7$ $1$ $1$ $+$ $-$ $÷$ $3$ $\times$ $2$ $1$ $1$ $+$ $+$
7. $15$ $7$ $1$ $1$ $+$ $-$ $÷$ $3$ $\times$ $2$ $1$ $1$ $+$ $+$ $-$

2 后缀表达式计算

通过上面我们将中缀表达式转为后缀表达式$15$ $7$ $1$ $1$ $+$ $-$ $÷$ $3$ $\times$ $2$ $1$ $1$ $+$ $+$ $-$

计算后缀表达式也不难：从左往右扫描，每遇到一个运算符，就让运算符前面最近的两个操作数执行对应运算
合体为一个操作数。注意：两个操作数的左右顺序。

步骤：

1. 第一个运算符是$+$，先算$1+1$
2. 第二个运算符是$-$，$7-2$
3. 第三个运算符是$÷$，$15÷5$
4. 第四个运算符是$\times$，$3\times3=9$
5. 第五个运算符是$+$，$1+1$
6. 第六个运算符是$+$，$2+2=4$
7. 最后一个运算符是$-$，$9-4$得最后结果

后缀表达式计算图示：

3 代码实现

代码实现需要遵循以下几点：

①遇到操作数直接入栈

②遇到界限符'$($'，直接入栈，遇到'$)$'，依次弹出栈内的运算符，直到栈顶元素为'$($'。

③运算符运算弹出规则，应该是：操作符栈顶运算符大于或等于当前输入运算符则弹出栈顶操作符。数字栈依次弹出两个数字$num1,num2$，运算是$num2+-...num1$

$\Large 例:计算中缀表达式((15÷(7-(1+1)))\times3)-(2+(1+1))$

Ⅰ.先分析运算符生效顺序，如下图:

Ⅱ. 从左到右依次扫描入栈:操作符栈(charStack),操作数栈(numStack)

Ⅲ. 定义操作符优先级：$+/-$为$A$，$\times/÷$为$B$，$($为$C$.

Ⅳ. 进行扫描运算：

①输入'$($'，由于操作符栈为$NULL$，直接入栈。

②输入'$($'，操作符栈不为$NULL$，且优先级等于操作栈顶的元素'('，但由于括号不参与运算，所以直接入栈。

③输入$15$，数字直接入栈。

④输入'$÷$'，由于'÷'优先级低于操作符栈顶元素'('，直接入栈。

⑤输入'$($'，括号直接入栈。

⑥输入$7$，数字直接入栈。

⑦输入'$-$'，'$-$'y优先级低于操作符栈顶元素'$($'，入栈。

⑧输入'$($'，直接入栈

⑨输入$1$，入栈

⑩输入'$+$'，'$+$'优先级低于操作符栈顶元素'$($'，入栈

⑪输入$1$，入栈。此时栈中元素情况如下：

操作符栈和操作数栈：

⑫输入'$)$'，栈顶操作符一次出栈直到为NULL或者为'$($'。此时弹出操作符栈顶元素'$+$'，弹出操作数栈前两个元素$1,1$。之后运算$1+1$得到新的数字重新放回操作栈顶部，再次执行弹出元素为'$($'，这次运算结束。

⑬输入')'，再次重复上面，弹出操作符栈顶元素'$-$'，弹出操作数栈两个元素$2,7$，运算$7-2$。得到新的数字重新放回操作栈顶部，再次执行弹出元素为'$($'，这次运算结束。

⑭输入'$)$'，重复上面过程，弹出操作符栈顶元素'$÷$'，弹出操作数栈两个元素$5,15$，运算$15÷5$。得到新的数字重新放回操作栈顶部，再次执行弹出元素为'$($'，这次运算结束。

⑮输入'$\times$'，此时操作符栈顶元素为'$($'，优先级低于栈顶元素，直接入栈。

⑯输入'$3$'，直接入栈

⑰输入'$)$'，弹出操作符栈顶元素'$\times$'，弹出操作数栈两个元素$3,3$，运算$3\times3$。得到新的数字重新放回操作栈顶部，再次执行弹出元素为'$($'，这次运算结束。

⑱输入'$-$'，此时操作栈为NULL，直接入栈

⑲输入'$($'，入栈

⑳输入$2$，入栈

㉑输入'$+$'，优先级小于操作栈顶元素'$($'，入栈

㉒输入'$($'，直接入栈

㉓输入$1$，入栈

㉔输入'$+$'，优先级低于操作栈栈顶元素'$($'，入栈

㉕输入$1$，入栈

㉖输入'$)$'，弹出操作符栈顶元素'$+$'，弹出操作数栈两个元素$1,1$，运算$1+1$。得到新的数字重新放回操作栈顶部，再次执行弹出元素为'$($'，这次运算结束。

㉗输入'$)$'，弹出操作符栈顶元素'$+$'，弹出操作数栈两个元素$2,2$，运算$2+2$。得到新的数字重新放回操作栈顶部，再次执行弹出元素为'$($'，这次运算结束。

㉘弹出操作栈顶元素'$-$'，弹出操作数栈两个元素进行最后运算，得到结果为$5$

详细代码

#include <bits/stdc++.h>
#include<string>
#define MaxSize 20
using namespace std;
 
char arrGrad(char s){
	switch(s){
		case '+':
			return 'A';
		case '-':
			return 'A';
		case '*':
			return 'B';
		case '/':
			return 'B';
		default :
			return 'C'; 
	}
}
 
//存放运算符 
typedef struct linkC{
    char data;
	char grad;				
    struct linkC *next;		
} *linkChar;
 
//存放运算数 
typedef struct linkN{
    int data;				
    struct linkN *next;		
} *linkNum;	 
 
bool initCharNum(linkChar &c,linkNum &n,char (&s)[MaxSize]){
	memset(s,'\0',sizeof(s));
	c=(linkChar)malloc(sizeof(linkChar));
	n=(linkNum)malloc(sizeof(linkNum));
	if(c==NULL||n==NULL) return false;
	c->next=NULL;
	n->next=NULL;
	return true;
}
 
//操作符入栈 
bool pushChar(linkChar &c,char s){
	linkChar p;
	p=(linkChar)malloc(sizeof(linkChar));
	if(p==NULL) return false;
	if(s=='+'|s=='-'){
		p->data=s;
		p->grad=arrGrad(s);
		p->next=c->next;
		c->next=p;
		return true;
	}else if(s=='*'|s=='/'){
		p->data=s;
		p->grad=arrGrad(s);
		p->next=c->next;
		c->next=p;
		return true;
	}else if(s=='('){
		p->data=s;
		p->grad=arrGrad(s);
		p->next=c->next;
		c->next=p;
		return true;
	}else{
		return false;
	}	
}
 
//操作数入栈 
bool pushNum(linkNum &n,int e){
	linkNum p;
	p=(linkNum)malloc(sizeof(linkNum));
	if(p==NULL) return false;
	p->data=e;
	p->next=n->next;
	n->next=p;
	
	return true;
}
 
//操作符出栈
char popChar(linkChar &c){
	char s;
	linkChar p;
	if(c->next==NULL) return 'E';
	s=c->next->data;
	p=c->next;
	c->next=p->next;
	free(p);
	return s;
}
 
//操作数出栈
int popNum(linkNum &n){
	int i;
	linkNum p;
	if(n->next==NULL) return 0;
	i=n->next->data;
	p=n->next;
	n->next=p->next;
	free(p);
	return i;
}
 
//获取操作符栈顶元素
char selectChar(linkChar &c,int e){
	if(e) return c->next->data;
	return c->next->grad;
}
 
//运算
void ope(linkChar &c,linkNum &n){
	char popchar=popChar(c);
	int num1=popNum(n);
	int num2=popNum(n);
	cout<<num2<<popchar<<num1<<endl;
	switch(popchar){
		case '+':
			pushNum(n,num2+num1);
			break;
		case '-':
			pushNum(n,num2-num1);
			break;
		case '*':
			pushNum(n,num2*num1);
			break;
		case '/':
			pushNum(n,num2/num1);
			break;
	}
} 
 
void printStack(linkChar &c,linkNum &n){
	while(c->next!=NULL){
		cout<<"data:"<<c->next->data<<"grad::"<<c->next->grad<<endl;
		c=c->next;
	}
	while(n->next!=NULL){
		cout<<"result:"<<n->next->data<<endl;
		n=n->next;
	}
}
 
//字符转数字 
int opeNum(char (&s)[MaxSize]){
	int couts,sum=0;
	for(int i=0;i<strlen(s);i++){
		couts=s[i]-'0';
		for(int j=i;j<strlen(s)-1;j++){
			couts=couts*10;
		}
		sum+=couts;
	}
	memset(s,'\0',sizeof(s));
	return sum;
}
int con=0;
 
//区分操作数和操作符
bool isCharNum(linkChar &c,linkNum &n,char s,char (&chrs)[MaxSize]){
	int i;
	if(s>='0'&&s<='9'){													//数字直接存入操作数栈 
		chrs[con++]=s;
		return true;
	}else if(s=='+'||s=='-'||s=='*'||s=='/'||s=='('||s=='!'){			//判断是否是操作符 
		if(strlen(chrs)>0) {
			i=opeNum(chrs);
			pushNum(n,i);
			con=0;
		}
		if(c->next==NULL){												//操作符栈为空，直接入栈 
			pushChar(c,s);
			return true;
		}
		if(selectChar(c,0)>=arrGrad(s)&&selectChar(c,1)!='('){			//不为空且栈顶操作符优先级大于等于当前所输入操作符元素,并且不是"("
			while(c->next!=NULL&&c->next->grad>=arrGrad(s)&&c->next->data!='('){			//取出操作符进行运算操作 
				ope(c,n);
			} 
		} 
		pushChar(c,s);													//将当前输入操作符压入栈顶 
		return true;
	}else if(s==')'){	
		if(strlen(chrs)>0||s=='!') {
			i=opeNum(chrs);
			pushNum(n,i);
			con=0;
		}															//如果当前输入是")",弹出所有操作符进行运算,直到碰到"(" 
		while(selectChar(c,1)!='('){
			ope(c,n);
		}
		popChar(c);														//弹出栈顶的"(" 
		return true;
	}else{
		return false;
	}
} 
 
int main(){
	char chr,chrs[MaxSize];
	linkChar c;
	linkNum n;
	initCharNum(c,n,chrs);
	while(chr!='!'){
		cin>>chr;
		isCharNum(c,n,chr,chrs);
	}
	ope(c,n);
	printStack(c,n);
} 

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本文作者：Acidm
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