前言
本文根据《高等数学》第三版，及网上资料整理所得。
本文将介绍夹逼定理概念、使用条件及运用。
1. 什么是夹逼定理
夹逼定理其定义如下：
设函数\(g(x)\le f(x)\le h(x)\)，如果在自变量的同一变化过程中\(\lim g(x)=A,\lim h(x)=A，\)则必有：
\[\lim f(x)=A
\]
这是书上定理，通俗讲就是：函数\(A\ge B\)，函数\(B\le C\)，函数\(A\)的极限是常数\(A\)，函数\(C\)的极限也是\(A\) ，那么函数\(B\)的极限就一定是\(A\)，这个就是夹逼定理。
2. 夹逼定理使用情况
上面介绍了夹逼定理的基本概念。那么在什么情况下才会需要用到夹逼定理：
夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则，求极限的函数或数列极限。
下面的极限我们不能通过一般方法求出，需要用到夹逼定理：
\[\Large ①\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{10^n}{n!}
\]
\[\Large ②\underset{n\to\infty}{\lim}\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n}
\]
\[\Large③\underset{n\to\infty}{\lim}\sqrt[n]{1^3+2^3+...+n^3}
\]
\[\Large④\underset{n\to\infty}{\lim}(\frac{n}{n^2+\pi}+\frac{n}{n^2+2\pi}+...+\frac{n}{n^2+n\pi})
\]
以上极限仅代表部分题型不适用于所有问题。
3. 极限夹逼定理应用
由定义我们可以知道：夹逼定理的思维就是放大和缩小，即把一个复杂的数列放大或缩小成简单的。并且要放大和缩小极限都存在，且相等。以上四个是使用夹逼定理经典例子，我把它分为三类：①一类、②③是一类、④是一类。
3.1 第一类极限夹逼定理应用
我们先看最简单的第一类极限\(④\)。他的特点就是极限有\(n\)项相加，且都为分式。这类极限比较好缩放。
具体缩放法是我们可以根据分式性质来找到较大的\(G(n)\)和较小的\(h(n)\)。即我们对第一项和最后一项同时放大\(n^\alpha\)倍，此时较大项\(G(n)\)就是放大\(n^\alpha\)倍的第一项，较小项\(h(n)\)就是放大\(n^\alpha\)倍的最后一项。\(\alpha\)为分母同次幂，其作用是消除多余系数。
具体做法如下：
\(\Large求\underset{n\to\infty}{\lim}(\frac{n}{n^2+\pi}+\frac{n}{n^2+2\pi}+...+\frac{n}{n^2+n\pi})极限\)
\[\begin{equation*}
\begin{aligned}
\\\Large{解：}\\
&令G(n)=\frac{n^2}{n^2+\pi},h(n)=\frac{n^2}{n^2+n\pi}\\
\\
&此时:G(n)\ge\lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n^2+\pi}+\frac{n}{n^2+2\pi}+...+\frac{n}{n^2+n\pi})\ge h(n)\\
\\
&则\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+\pi}=1,\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+n\pi}=1\\
\\
&\therefore 1\ge\lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n^2+\pi}+\frac{n}{n^2+2\pi}+...+\frac{n}{n^2+n\pi})\ge 1\\
\\
&\therefore \lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n^2+\pi}+\frac{n}{n^2+2\pi}+...+\frac{n}{n^2+n\pi})=1
\end{aligned}
\end{equation*}
\]
再看一道比较有代表性的例子
\(\Large 求\underset{n\to\infty}{\lim}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})\)
\[\begin{equation*}
\begin{aligned}
\\\Large{解：}\\
&和上面一样,对第一项和最后一项乘n\\
\\
&得G(n)=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}},h(n)=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\\
\\
&此时:G(n)\ge\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})\ge h(n)\\
\\
&则\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=1,\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=1\\
\\
&\therefore 1\ge\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})\ge 1\\
\\
&\therefore \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})=1
\end{aligned}
\end{equation*}
\]
总结：
- 观察极限\({a_n}\)首项和尾项
- 通过对首项和尾项放大\(n^\alpha\)倍，\(\alpha\)为分母同次幂。分别得到\(G(n)\)和\(h(n)\)
- 分别对\(G(n)\)和\(h(n)\)求极限，相等即为\({a_n}\)的极限值。
3.2 第二类极限定理应用
对于\(①\)这种极限相除形式，我们可以不用夹逼定理而是通过函数趋势变化解决。变化如下：
当\(x\to\infty\)时，基本初等函数趋势变化为：\(\ln^{\alpha}x\le x^{\beta}\le a^x\le x!\le x^x(其中\alpha>0,\beta>0,a>1)\)
当\(x\to 0\)时，基本初等函数趋势变化为：\(\ln^{\alpha}x\ge x^{\beta}\ge a^x\ge x!\ge x^x(其中\alpha>0,\beta>0,a>1)\)
注意：对数函数变化趋势越来越慢，幂函数相对平稳，指数函数变化趋势越来越快。\(0!=1\)。
基本初等函数变化趋势：
通过函数趋势我们就可以解决这类问题
\(\Large求\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{10^n}{n!}极限\)
\[\begin{equation*}
\begin{aligned}
\\\Large{解：}\\
&当n\to\infty时,n!趋势比10^n快\\
\\
&即x!趋近于无穷大,10^n还是一个常数A\\
\\
&\therefore \lim_{n\to\infty}\frac{10^n}{n!}=\frac{A}{\infty}=0
\end{aligned}
\end{equation*}
\]
总结：牢记函数变化趋势。
3.3 第三类极限夹逼定理应用
第三类极限\(②③\)是多项式相乘，这种极限不能通过技巧解决。我们需要先判断极限值，再用夹逼定理解决。
判断极限值方法还是通过极限变化趋势。
\(\Large 例1:\underset{n\to\infty}{\lim}\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n}\)
\[\begin{equation*}
\begin{aligned}
\\\Large{解：}\\
&令原函数通项为f(x)由幂函数变化趋势我们可以得到1^n\le2^n\le3^n\\
\\
&可以推测出极限值为\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^n}=3\\
\\
&由此可知G(n)=\sqrt[n]{3^n+3^n+3^n}\ge f(x),h(n)=\sqrt[n]{3^n}\le f(x)\\
\\
&\therefore G(n)\ge\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n}\ge f(x)\\
\\
&\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^n+3^n+3^n}=\lim_{n\to\infty}3^{\frac{n+1}{n}}=3,\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^n}=3\\
\\
&\therefore \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n}=3
\end{aligned}
\end{equation*}
\]
\(\Large 例2:\underset{n\to\infty}{\lim}\sqrt[n]{1^3+2^3+...+n^3}\)
\[\begin{equation*}
\begin{aligned}
\\\Large{解：}\\
&令原式通项为f(x),观察题目可知当x\to\infty时,\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^3}=1\\
\\
&由此可知G(n)=\sqrt[n]{n^3+n^3+...+n^3}=\sqrt[n]{n^4}\ge f(x)\\
\\
&且h(n)=1\le f(x)\\
\\
&\therefore G(n)\ge f(x)\ge h(n),\lim_{n\to\infty}G(n)=1,\lim_{n\to\infty}h(x)=1\\
\\
&即\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^3+2^3+...+n^3}=1
\end{aligned}
\end{equation*}
\]
总结：
- 大胆猜想极限值。
- 小心谨慎求证。
结尾
以上仅仅是三类题型介绍，我们面对问题时还是要具体问题具体分析。如：\(\underset{n\to\infty}{\lim}(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+...+\frac{n}{n^2+n+n})\)极限。显然此时在两边同时乘\(n或n^2\)，不能消掉通项。关于这类问题，以后再说。
