计算机组成与设计-浮点数

引言

日常计数中我们常用科学计数法来表示一些比较大或特别小的数字，例如3.15576×10⁹。归一化科学计数法表示不以0开头的科学计数法，即小数点前一位不能为0。

而对于计算机来说要用二进制来表示这样的数字，也就产生了浮点数。浮点表示其二进制点不固定。在C语言中关键字float代表了这一数据类型。

　　

表示方法

MIPS指令集架构中，浮点数表示方法如下图所示：

 

上图代表单精度浮点数。1bit的符号位；8bit的指数位，代表数字的范围大小；23位的分数位，即代表0~1之间的数字，代表数字的精度。

当然也有双精度浮点数，即C语言中的double关键字表示的数据类型。MIPS用两个字来表示一个双精度数据：

 

这里指数位扩展到11bit，范围扩大了一些；而分数位扩大到了52bit，因此精度更高，数据的准确程度更高。

Biased Notation

 

浮点数的指数部分有正有负，如果用补码进行表示就会出现矛盾。1/2即2^-1被表示为11111111，而2即2¹被表示为 00000001，如果进行整数比较（因为用高位进行比较能节约硬件资源和计算时间，首先比较符号位，再是表示范围的指数部分）就会出现1/2比2大的情况，而这明显是错误的。

因此以一种偏置法对指数进行表示：

对于单精度浮点数，指数部分长度为8bit，表示范围为：-127~128，因此偏置为127。新的表示方法如下：

这样1/2表示为2^-1=2^126-127，指数部分为0111 1110；2表示为2^128-127，指数部分为1000000；就能够正确得比较大小了。

隐含的1

需要注意的是：以归一化科学计数法表示的浮点数都是1. 几的模式表示，因此小数点前的1可以隐含，使得分数位可以扩大一位的精度。即significant就是分数位的具体数值，不需要考虑leading1。

0与特殊数字的表示

 目前仅考虑了指数为1~254范围，分数位为任意数据的情况，事实上还有几类数据没有深入考虑：

 

• 首先是0该如何表示，首先指数位为0，其次分数位也是0。样区分了指数位为1~254的标准浮点数的情况。而符号位可为1也可为0，+0和-0在一些限制性比较中起到作用。
• 接着是指数位为0，但是分数位不是0。实际上这代表了非规范化数字(denormalized numbers)
• 然后是指数位为255，分数位为0。表示正负无穷，比如浮点数的计算中除0，计算结果应该是正负无穷而不是溢出。
• 最后是指数位为255，分数位为非0。这种情况表示NaN，即不是一个数字。比如在计算sqrt(-4.0)或者0/0，可以用于程序的debug等等。

浮点数运算

 浮点数加法的流程如下图所示：

 

参考资料：

1. Computer Organization and Design The Hardware/Software Interface. (Fifth edition)

2. 国立清华大学资讯工程学系课件