拉格朗日乘数法

luogu2179 [NOI2012]骑行川藏

虽然我并不知道如何证明，但是背下结论套的话这题就是模板题了。

设第$i$段路骑行速度为$x_i$

$f=\sum \frac{s_i}{x_i}$

要求最小化$f$

设$g=E_u-\sum k_i*(x_i-v_i)^2*s_i$

贪心，当$x_i<v_i$时，存在关于$v_i$对称的$x$使代价不变而答案更优
故$x_i>=v_i$

故当$g$不为0时，一定可以增大$x$使答案更优，即最优解时$g=0$

$f=\sum \frac{s_i}{x_i}$

$g=E_u-\sum k_i*(x_i-v_i)^2*s_i=0$

设$t=f-\lambda*g$

根据拉格朗日乘数啥子的，当$t$的偏导为$0$时，$f$取得极值

即
$-\frac{s_i}{x_i}+ 2\lambda k_i s_i(x_i-v_i)=0$

$x_i>=v_i$，故$\lambda$随$x_i$单调

二分$\lambda$使$g=0$即可

注意实数二分最好控制次数而不是$eps$

关于二分的上界我比较懵逼，我看有人开到1e5就过了，这个大概要随缘吧……

//Achen
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
#define Formylove return 0
#define For(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define Rep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define eps 1e-15
const int N=1e4+7;
typedef long long LL;
typedef double db;
using namespace std;
int n;
db E,s[N],k[N],v[N],x[N];

template<typename T>void read(T &x)  {
    char ch=getchar(); x=0; T f=1;
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
    if(ch=='-') f=-1,ch=getchar();
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0'; x*=f;
}

int dcmp(db x) { return fabs(x)<=eps?0:(x>0?1:-1); }

void get_x(db lmd) {
    lmd=1.0/lmd;
    For(i,1,n) {
        db l=max(0.0,v[i]),r=1e5;
        For(ti,1,80) {
            db mid=(l+r)/2.0;
            if(dcmp(k[i]*mid*mid*2*(mid-v[i])-lmd)<=0) l=mid;
            else r=mid;
        }
        x[i]=l;
    }
}

int ck(db lmd) {
    get_x(lmd);
    db tp=E;
    For(i,1,n) 
        tp-=k[i]*(x[i]-v[i])*(x[i]-v[i])*s[i];
    return dcmp(tp)>=0;
}

int main() {
#ifdef ANS
    freopen(".in","r",stdin);
    freopen(".out","w",stdout);
#endif
    read(n);
    scanf("%lf",&E); 
    For(i,1,n) 
        scanf("%lf %lf %lf",&s[i],&k[i],&v[i]);
    db l=0,r=1e5,lmd;
    For(ti,1,80) {
        lmd=(l+r)/2.0;
        if(ck(lmd)) r=lmd;
        else l=lmd;
    }
    get_x(lmd);
    db ans=0;
    For(i,1,n) ans+=s[i]/x[i];
    printf("%.6lf\n",ans);
    Formylove;
}

 

yja

和上道题一样的模板