基本计数方法

计数方法包括加法原理和乘法原理。
乘法原理是加法原理的特殊情况，加法原理在分类有重复的情况下，可以使用容斥原

理。
加法原理：做一件事有n个方法，第i个方法有pi种方案，则一共有p1+p2+……+pn种

方案。
乘法原理：做一件事有n个方法，第i个步骤有pi种方案，则一共有p1p2……pn种方案

。
几个常见的计数问题。
组合排列：
性质一：C（n ，0）=C（n ，n）=1
性质二：C（n ，k）=C（n ，n-k）
性质三：C（n , k)+C(n ,k+1) =C (n+1,k+1)
性质四：C（n ,k+1）=C(n ,k)*(n-k)/(k+1)
有重复元素的全排列：n1!n2!……nk!x=n!
可重复选择的组合：设第i个元素选xi个，问题转化为x1+x2+……+xn=k的非负整数解

的个数，即C（k+n-1,n-1）=C(n+k-1,k).

例题一：UVa 11538
从行，列，对角线三个方向考虑，行为n*m*(m-1),列为m*n*（n-1）；对角线长度1-

>N->1,中间有（m-n+1）个n（假设n<=m）,从而可推导出对角线上的公式为2*n*(n-

1)*(3*m-n-1)/3.

例题二：UVa 11401
运用加法原理，设最大边长为x，y+z>x => x-y<z<x.由此可发现规律y=1,无解;y=2,

有一解（z=x-1）;y=3,有二解（z=x-1）,(z=x-2);直到y=x-1有x-2个解。

例题三：UVa 11806
本题要用到容斥原理，将第一行，最后一行，第一列，最后一列，看做四个集合，通过求交集得出最后结果。