UVa10870 Recurrences

列出方程组：

a₁*f(n-1)+a₂*f(n-2)+a₃*f(n-3)+...+a_d*f(n-d)=f(n)

     f(n-1)                                                    =f(n-1)

                     f(n-2)                                    =f(n-2)

                                     f(n-3)                    =f(n-3)

                                                         f(n-d)=f(n-d)

 

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解线性方程组， 转化成矩阵形式：

A                   ×                         F(n-1)    = F(n)

a1	a2	a3	...	ad
1
	1
		1
			...	1

f(n-1)

f(n-2)

f(n-3)

...

f(n-d)

f(n)

f(n-1)

f(n-2)

...

f(n-d)

 

 

 

递推：

A × F(n-1) = F(n)

A × F(n-2) = F(n-1)

A × F(n-3) = F(n-2)

...

得出：

A^n-d  × F(d) = F(n)

其中F(d)为：

f(d)

f(d-1)

f(d-2)

...

f(1)

 

 

 

 

 

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剩下就是求矩阵A的n-d次幂，以及求矩阵与向量的乘，F(n)中的f(n)为所求~

 

void matrix_mul(Matrix A, Matrix B, Matrix res) {                                              
  Matrix C;
  memset(C, 0, sizeof(C));                                                                     
  for(int i = 0; i < sz; ++i)
    for(int j = 0; j < sz; ++j)                                                                
      for(int k = 0; k < sz; ++k ) C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k]*B[k][j]) % mod;                
  memcpy(res, C, sizeof(C));
}   
void matrix_pow(Matrix A, int n, Matrix res) {                                                 
  Matrix a, r;                                                                                 
  memcpy(a, A, sizeof(a));                                                                     
  memset(r, 0, sizeof(r));                                                                     
  for(int i = 0; i < sz; ++i) r[i][i] = 1;                                                     
  while(n) {
    if(n&1) matrix_mul(r, a, r);                                                               
    n >>= 1;
    matrix_mul(a, a, a);
  } 
  memcpy(res, r, sizeof(r));                                                                   
}   

 

注意一下这个：

typedef i64 Matrix[maxn][maxn];
typedef i64 Vector[maxn];